北京市XX初中2020—2021学年度初三上数学期中试卷含答案.doc

北京市XX初中2020—2021学年度初三上数学期中试卷含答案
九年级数学期中测试 2021年11月
考
生
须
知
1.本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时刻120分钟。
2.在答题纸和机读卡上认真填写班级、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂在机读卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4.在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试终止，请将答题纸和机读卡一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.
　A. B. C. D.

2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.
A． B． C． D．
3．假如（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且 DE∥BC，假如
AD∶DB=3∶2，那么AE∶AC等于（ ）
A．3∶2　 　 B．3∶1 　 C．2∶3　 　D．3∶5
5．在平面直角坐标系xoy中，假如⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（-3，-4）与⊙O的位置关系是（ ）
A. 在⊙O内 B.在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定
6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，
B点落在位置，A点落在位置，若，
则的度数是（ ）．
A．50° B．60° C． 70° D．40°

7．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B． 140° C．150° D． 160°
8．二次函数的最小值为（ ）
A. 5 B. 0 C. -3 D. -4
9．如图，是⊙的切线，为切点，的延长线交⊙于点，
连接，假如，，那么的长等于( ) ．
A. 6 B. 4 C. D.
10．如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O动身沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），假如y与点P运动的时刻x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为( ).

A．O→B→A→O ® B．O→A→C→O ® C．O→C→D→O ® ®D．O→B→D→O

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式 .
12. 把二次函数的表达式y = x2－6x+5化为的形式，那么=_____.
13．颐和园是我国现存规模最大，储存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，假如它的地基是半径为2米的正六边形，那么那个地基的面积是 米2．
14．“圆材埋壁”是我国古代闻名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用数学语言能够表述为：“如图，CD为⊙O
的直径，弦于E，假如CE = 1，
AB = 10，那么直径CD的长为 .”
15.弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是____________.
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
已知：⊙O和点P.

求作：过点P的⊙O的切线.

小涵的要紧作法如下：
如图：（1）连结OP，作线段OP的中点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC.
因此PB和PC确实是所求的切线.

老师说：“小涵的作法正确．”
请回答：小涵的作图依据是　 　．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解承诺写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．解方程：．

18．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判定弧EF和弧FG是否相等，并说明理由.

19．已知抛物线y= (m -2)x2 + 2mx + m +3与x轴有两个交点．
(1) 求m的取值范畴；
(2) 当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．

第20题图
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
(1) 在网格中画出△AB1C1；
(2) 运算点B旋转到B1的过程中所通过的路径长．（结果保留）

21．下表是二次函数图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）.
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0
-1
0
m
8
…
（1）观看表格，直截了当写出m=____；
（2）其中A（，）、B（，）在函数的图象上，且-1< x1 <0， 2< x2 <3，
则_____（用“>”或“<”填空）；
（3）求那个二次函数的表达式．

22. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时刻进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发觉，这种文化衫每天的销售件数（件）与销售单价（元）满足一次函数关系：．假如义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．
l
P
A
O
B
C
(1) 请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等．

24. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄壮壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．

25. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．
（1）求证：DE 是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF 的长度．

26．阅读下面解题过程，解答相关问题.
求一元二次不等式＞0的解集的过程.
① 构造函数，画出图象：
依照不等式特点构造二次函数；并在坐
标系中画出二次函数的图象(如图1).
② 求得界点，标示所需：
当y=0时，求得方程的解为，
；并用锯齿线标示出函数图象
中y＞0的部分(如图2).
③ 助图象，写出解集：
由所标示图象，可得不等式＞0的解集为.
请你利用上面求一元二次不等式解集的过程，
求不等式≥4的解集.

27．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点，在抛物线上，若，请直截了当写出的取值范畴；
（3）设点为抛物线上的一个动点，当时，
点关于轴的对称点都在直线的上方，求的取值范畴．

28. 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
（1） 如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是 ；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2） 设∠AOB=α，∠BOC=β.
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直截了当写出OA+OB+OC的最小值.

29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y) ．
(1) 如图1，假如⊙O的半径为，
①请你判定 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；
②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范畴.
(2) 如图2，假如⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

草 稿 纸

北京市第十三中学2021-2021学年度
九年级数学期中测试评分标准 2021年11月
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
B
C
B
D
A
C

二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．不唯独； 12．-1； 13．； 14．26； 15．30°和150°； 16．直径所对的圆周角是直角；通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解承诺写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.解方程： .
解：. …………1分
. …………2分
. …………3分
.
∴ . …………5分
18. 如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判定和是否相等，并说明理由.
结论：. ………………… 1分；
证法一：连接AE.
∴，
∴，………………… 2分；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，，………………… 3分；
∴， ………………… 4分；
在⊙A中，
∴. ………………… 5分.
结论：. ………………… 1分；
证法二：连接GE.
∵BG是⊙A的直径，
∴. ………………… 2分；
∴.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ………………… 3分；
∴ ………………… 4分；
∴. ………………… 5分.
证法三：参考上面给分

19．（1）解：在 y= (m -2)x2 + 2mx + m +3 中，令y=0
由题意得------------------------------------------2分
整理，得
解得 -----------------------------------3分
（2）满足条件的m的最大整数为5．-------------------------4分
∴y=3x2+10x+8
令y=0，3x2+10x+8=0，解得

∴抛物线与x轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（，0）-------5分
20．解：(1)画出△AB1C1，如图． ………………………………2分
(2)由图可知△是直角三角形，AC＝4，BC＝3，
因此AB＝5． ………………3分
点B旋转到B1的过程中所通过的路径是一段弧，
且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分
∴＝． …………5分
因此点B旋转到B1的过程中所通过的路径长为．
21．解（1）3； --------------------------------------------------1分
（2）>； -----------------------------2分
（3）观看表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点，
设抛物线表达式为--------------3分
把（0，3）点代入，4a-1=3，
解得a=1--------------------------------------------------4分
∴
-----------------------------------5分
22．解：每天获得的利润为：
…… ……………………… 1分

……………………………… 3分
∵
∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大，…… 4分
最大利润是192元. . ……5分

23. （1）解：如图所示.
O
P
l
A
C
B
F
E
D

-----2分
（2）思路：
a．由切线性质可得PO⊥l；
b．由l∥BC可得PD⊥BC；
c．由垂径定理知，点E是BC的中点；
d．由三角形面积公式可证S△ABE = S△AEC . -----5分
24. 解法一：如图所示建立平面直角坐标系．--------------------------- 1分
现在，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)．
设这条抛物线的解析式为．-------------------- 2分
∵ 抛物线通过点B (50,150)，
可得  ．
解得． ------------------------- 3分
∴．-------4分
顶点坐标是（0，200）
∴ 拱门的最大高度为200米．-------------------------------------- 5分
解法二：如图所示建立平面直角坐标系．-------------------------------- 1分
设这条抛物线的解析式为．--------------------------------- 2分
设拱门的最大高度为h米，则抛物线通过点B(50,-h+150), D(100,-h)
可得 

解得． ----------------------- 4分

∴ 拱门的最大高度为200米．--------------------- 5分
25.（1）证明：连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．…………………………………………………………1分
∵，
∴．
∴．
∴．
∴于点．
∵点在⊙上，
∴是⊙的切线． ……………………………………………………………2分
（2）连接，，
∵为⊙直径，
∴．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，． …………………………………………3分
∵，
∴．……………………………………………………………4分
∴． ………………………………………………5分
26. 解：①构造函数，画出图象：
依照不等式特点构造二次函数或
；并在坐标系中画出二次函数
或；的图象(如图). ………………… 2分；

②求得界点，标示所需：
当y=4时，求得方程的解为，
；并用锯齿线标示出函数图象
中y≥4的部分(如图).
或当y=0时，求得方程的解为，
；并用锯齿线标示出函数图象
中y≥0的部分(如图). …………… 4分；
③借助图象，写出解集：
∴不等式≥4的解集为≤-1或≥3. ………………… 5分；
27． 解：
（1）∵抛物线的对称轴是
∴
∴ …………. ………...1分
∴． ………. ………...2分
（2）或． ………. ………...4分
（3） 由题意得抛物线
关于轴对称的抛物线为.
当；
当直线通过点时，
可得 ………5分
当；
当直线通过点时，
可得 ……6分
综上所述，的取值范畴是． ………7分
28．解：（1）①90°. …………………………………………… 1分
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是.
如图1，连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.
∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°.
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.
∴∠DAO=90°.
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴.
∴. ………………… 3分
（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值.
作图如图2的实线部分. …………………… 4分
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接OO’.
∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.
∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC,
∠A’O’C =∠AOC.
∴△OC O’是等边三角形.
∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC =∠A’O’C=120°.
∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.
∴四点B，O，O’，A’共线.
∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小. …………… 6分
②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=. … 7分
29.解：（1）①由题意得，
∴
∴在⊙O上，在⊙O外. ----2分
②设点,则.
∵点在⊙O内，
∴,解得.
∴点P横坐标的取值范畴是. -----5分
（2）设点,则.
由题意，得
整理，得
∴
∴点O到直线y= -3x+6的距离是
∴点P与⊙O上任意一点的最短距离是. -----8分