2025年湖南省永州市祁阳县教学研究室高二下数学期末检测试题含解析.doc

2025年湖南省永州市祁阳县教学研究室高二下数学期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．96
2．已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．正方体中，直线与平面所成角正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．设随机变量，若，则n=
A．3 B．6 C．8 D．9
6．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于正态分布的命题：
①正态曲线关于轴对称；
②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；
③设随机变量，则的值等于2；
④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①④
8．若函数为奇函数，且在上为减函数，则的一个值为（ ）
A． B． C． D．
9．若离散型随机变量的分布如下：则的方差（ ）

0
1

0.6
A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．1
10．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）
①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（ ）
A． B． C．0.3 D．4
12．若直线：(为参数)经过坐标原点，则直线的斜率是
A． B．
C．1 D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
14．已知一扇形的面积是8cm2，周长是12cm，则该扇形的圆心角α（0<α<π）的弧度数是_______
15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．
16．总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知x，y，z是正实数，且满足.
(1)求的最小值；
(2)求证：
18．（12分）已知函数在处取得极值．
确定a的值；
若，讨论的单调性．
19．（12分）已知在平面直角坐标系内,点在曲线 (为参数, )上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
（2）若与相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.
20．（12分）如图，在直三棱柱中，平面面， 交于点，且.

（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的极值；
（2）若且对任意的，恒成立，求的最大值．
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，运算即可得解.
【详解】
解：先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数，
故选：B.
本题考查了排列组合中的相邻问题，重点考查了捆绑法，属基础题.
2、D
【解析】
利用已知条件推出x+y＝1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．
【详解】
解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，
则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，
对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：
故选D．
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
3、C
【解析】
作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案.
【详解】
如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C.

本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.
4、D
【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.
5、D
【解析】
根据随机变量，得到方程组，解得答案.
【详解】
随机变量，
解得
故答案选D
本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.
6、C
【解析】
分析：求导得到在处的切线斜率，利用点斜式可得在处的切线方程.
详解：已知函数，则 则 即在处的切线斜率为2，又 则在处的切线方程为 即.
故选C.
点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.
7、C
【解析】
分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
详解：①正态曲线关于轴对称，故①不正确，
②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；正确；
③设随机变量，则的值等于1；故③不正确；
④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.正确.
故选C.
点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．
8、D
【解析】
由题意得，
∵函数 为奇函数，
∴，故．
当时，，在上为增函数，不合题意．
当时，，在上为减函数，符合题意．选D．
9、C
【解析】
分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．
详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，
所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，
所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．
故选：C．
点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．
10、D
【解析】
在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，
∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；
在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；
在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；
在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴二队很少不失球，故（4）正确.
故选：D．
11、A
【解析】
我们根据对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，对应常数为1= lnc，c=e1.
【详解】
∵y=cekx，
∴两边取对数，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+1，
∴l n c=1，
∴c=e1．
故选A．
本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
12、D
【解析】
先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.
【详解】
直线方程消去参数,得：，经过原点，
代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.
故选D
本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
14、1
【解析】
设半径为，则，，可解出对答案．
【详解】
设半径为，则，,
由有代入有：
，解得 或，
当时，，
当时，，
又，
所以.
故答案为：
本题考查扇形的面积，弧度制公式等，属于容易题．
15、32
【解析】
试题分析：设高一年级抽取名学生，所以，高一年级抽取24名学生
考点：分层抽样
16、0.3108
【解析】
分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由
能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．
设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由
能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．
则恰好5场比赛决出总冠军的概率为.
详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由
能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则

设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由
能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则

则恰好5场比赛决出总冠军的概率为
即答案为0.3108.
点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；
(2)由柯西不等式即可得证.
详解：
(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，
∴＋＋＝ (x＋2y＋3z)
＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，
当且仅当＝且＝且＝时取等号．
(2)由柯西不等式可得
1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥，
当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．
故x2＋y2＋z2≥
点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.
18、（1）
（2）在和内为减函数，在和内为增函数．
【解析】
（1）对求导得，
因为在处取得极值，所以，
即，解得；
（2）由（1）得，，
故
，
令，解得或，
当时，，故为减函数，
当时，，故为增函数，
当时， ，故为减函数，
当时，，故为增函数，
综上所知：和是函数单调减区间，
和是函数的单调增区间.
19、 (Ⅰ)曲线的标准方程：；直线的直角坐标方程为：
(Ⅱ)
【解析】
试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线的直角坐标方程．
(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．
试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：.
(Ⅱ)圆心到的距离为，则点到的最大距离为，，∴.
考点：极坐标
20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据及直三棱柱特点可知；利用面面垂直性质可得平面，从而证得；利用线面垂直性质可知，从而根据线面垂直判定定理可证得平面，根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅱ）根据体积桥将问题转化为三棱锥体积的求解；根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可知到平面的距离，利用三棱锥体积公式求得结果.
【详解】

（Ⅰ）在直三棱柱中,
四边形为正方形
平面平面，且平面平面，平面
平面，又平面
平面，平面
又 平面
平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，

，，
平面
为中点 到平面的距离：

本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直判定定理和性质定理、面面垂直性质定理的应用.求解三棱锥体积的关键是能够通过体积桥的方式将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥的体积的求解.
21、（1）极小值为，无极大值；（2）1.
【解析】
（1）将代入，求其单调区间，根据单调区间即可得到函数的极值.（2）首先将问题转化为，恒成立，设，求出其单调区间和最值即可得到的最大值.
【详解】
（1）当时，，
易知函数在上为单调增函数，
及
所以当，，为减函数.
当，，为增函数.
所以在时取最小值，
即，无极大值.
（2）当时，由，
即，得.
令，则.
设，则，
在上为增函数，
因为，，
所以，且，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增．
所以，
因为，
所以，，
所以，即的最大值为1．
本题第一问考查利用导数求函数的极值，第二问考查利用导数解决恒成立问题，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解
【详解】
（1）
当时，不等式化为，解得，可得；
当时，不等式化为，解得，可得；
当时，不等式化为，解得，可得.
综上可得，原不等式的解集为.
（2）若恒成立，则恒成立，

又
最小值为.
此时 解得.
本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题