福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下数学期末经典模拟试题含解析.doc

福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下数学期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
4．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列{an}的前n项和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，则a2的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：

①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；
④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（ ）
A． B． C． D．
9．a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成60°角；
③直线与a所成角的最小值为45°；
④直线与a所成角的最大值为60°；
其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
12．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．
14．某中学开设类选修课门，类选修课门，类选修课门，每位同学从中共选门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种.
15．关于的方程的解为________
16．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
18．（12分）在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

经计算样本的平均值，标准差. 为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判
① ；
② ；
③
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；
（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，求的面积的最大值。
20．（12分）已知数列满足，.
（I）求，，的值；
（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
21．（12分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取51人，从乙校抽取41人进行分析.

通过人数
末通过人数
总计
甲校

乙校
31

总计

51

（1）根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
（2）现已知甲校A，B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，用随机变量X表示A，B，C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望E（X）．
参考公式：.
参考数据：

1．14
1．11
1．14
1．124
1．11
1．114
1．111

2．162
2．615
3．841
4．124
5．534
6．869
11．828

22．（10分）袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.
（1）求随机变量的分布和均值；
（2）求甲摸到白色球的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求导，得到函数的单调区间，函数在区间上有最大值无最小值，即导数的零点在上，计算得到答案.
【详解】

设
函数在区间上有最大值无最小值
即在有零点，且满足：
即
故答案选C
本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.
2、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选B．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．
3、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
4、C
【解析】
分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.
详解：由题意，角的终边经过点，即点，
则，
由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5、B
【解析】
首先设公差为，由题中的条件可得和，利用待定系数法可得，结合所求的范围及不等式的性质可得
.
【详解】
设公差为，由，得，即；
同理由可得.
故可设，所以有，所以有，解得，即，
因为 ，.
所以，即.
故选：B.
本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.
6、C
【解析】
试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，
∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；
则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；
∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；
∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.
故选C.
考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.
7、B
【解析】
作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．
【详解】
点满足，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
作出图象，

得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，
到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，
到坐标原点O的距离的点P的概率为：
．
故选：B.
本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8、C
【解析】
由f（x）=1﹣f（1﹣x），得 f（1）=1，确定f（）=，利用f（x）是奇函数，即可得出结论．
【详解】
由f（x）=1﹣f（1﹣x），得 f（1）=1，
令x=，则f（）=，
∵当x∈[0，1]时，2f（）=f（x），
∴f（）=f（x），
即f（）=f（1）=，
f（）=f（）=14，
f（）=f（）=14，
∵＜＜，
∵对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0
∴f（）=，
同理f（）=…=f（﹣）=f（）=．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣）+f（﹣）+…+f（﹣）+f（﹣）
=﹣[f（﹣）+f（）+…+f（）+f（）]=﹣，
故选：C．
本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题．
9、C
【解析】
由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故，，
斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，
直线的方向单位向量，1，，，
直线的方向单位向量，0，，，
设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，
其中为与的夹角，，，
在运动过程中的向量，，，，，
设与所成夹角为，，
则，，
，，③正确，④错误．
设与所成夹角为，，
，
当与夹角为时，即，
，
，，
，，，此时与的夹角为，
②正确，①错误．
故选：．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
10、C
【解析】
利用计算出定积分的值.
【详解】
依题意得，故选C.
本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
11、A
【解析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
12、C
【解析】
分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．
详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，
∵，∴，即．
故选C．
点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，通过研究的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞ex⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．
详解：根据题意，令g（x）=，
则其导数g′（x）=，
又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；
且g（1）=；
则不等式f（x）＞ex⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），
又由函数g（x）为减函数，
则有x＜1；
则不等式f（x）＞ex的解集为（-∞,1）；
故答案为：．
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.
14、
【解析】
每位同学共选门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.
【详解】
（1）当选2门的为A类，，
（2）当选2门的为B类，，
（3）当选2门的为C类，，
选法共有.
分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.
15、4或7
【解析】
根据组合数的性质，列出方程，求出的值即可.
【详解】
解：∵，
∴或，
解得或.
故答案为：4或7.
本题考查了组合数的性质与应用问题，是基础题目.
16、
【解析】
由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可
【详解】
由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，
因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，
所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，
所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，
所以实数的取值范围是.
故答案为

本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）115（2）186
【解析】
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．
（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有
18、（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析
【解析】
（1）根据频数分布表，计算，，的值，由此判断出“该份试卷应被评为合格试卷”.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1），
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
（2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以的取值可能为0，1，2，3
；；
；.
所以随机变的分布列为

0
1
2
3

故.
本小题主要考查正态分布的概念，考查频率的计算，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）由，，又由，解得，即可求得椭圆的方程；
（2）设出过焦点的直线方程代入椭圆方程，利用一元二次方程跟与系数关系得出交点纵坐标的关系，继而表示△OAB的面积，利用基本不等式求最值．
【详解】
（1）由，，又由，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设过的直线方程为，
代入椭圆的方程，化简得，显然．
设，，，.
从而.
所以.
令，
则，当，即时取等号.
所以面积的最大值为.
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：
(1)利用递推关系可求得；
(2) 猜想 ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.
试题解析：
解:(1)计算得
猜想
证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，
则当时，，
即时猜想成立
由①②得对任意，有
21、（1）填表见解析，有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关（2）见解析
【解析】
（1）根据题中信息完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的结论正误进行判断；
（2）列出随机变量的可能取值，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量在每个可能值处的概率，可列出随机变量的概率分布列，并由此计算出随机变量的数学期望.
【详解】
（1）列联表如下：

通过人数
未通过人数
总计
甲校
21
41
51
乙校
31
21
41
总计
41
51
111
由算得：
，
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关；
（2）设自主招生通过分别记为事件，
则.
∴随机变量的可能取值为1，1，2，3.
，
，
，
.
所以随机变量X的分布列为：

.
本题考查独立性检验的基本思想，考查随机变量分布列及其数学期望的求解，解题时要判断出随机变量所服从的分布列，结合分布列类型利用相关公式计算出相应的概率，考查计算能力，属于中等题．
22、 (1)分布列见解析，E(X)＝2.
(2) P(A)＝.
【解析】
分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；
（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.
详解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，
所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．
(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P (X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.
(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：
A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；
A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；
A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．
依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.