2025届新疆奎屯市第一高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

2025届新疆奎屯市第一高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ ）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：
①满足条件的取值有个
②为函数的一个对称中心
③在上单调递增
④在上有一个极大值点和一个极小值点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③
4．已知，，，若>恒成立，则实数m的取值范围是
A．或 B．或
C． D．
5．设实数，则下列不等式一定正确的是( )
A． B．
C． D．
6． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060………………20 16 12 8
16124……………………36 28 20
………………………
A． B．
C． D．
7．设复数满足，则( )
A． B． C． D．
8．已知，∈C．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．若随机变量服从正态分布，则（ ）
附：随机变量，则有如下数据：，
，.
A． B． C． D．
10．已知是定义在上的函数，且对任意的都有，，若角满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，， 则＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角
线上的点，若，则三棱锥的体积为 ________

14．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
15．方程的正整数解的个数__________.
16．已知，则最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式
（Ⅰ）当a=8时，求不等式解集；
（Ⅱ）若不等式有解，求a的范围.
18．（12分）设，已知，为关于的二次方程两个不同的虚根，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数，的值.
19．（12分）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．
20．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.
（1）求曲线的普通方程；
（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.
21．（12分）已知数列各项均为正数，，，.
（1）若，
①求的值；
②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若，证明：当时，.
22．（10分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学），现用分层抽样方法（按类、类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学.

（1）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米） 频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数（单位精确到0.01）；
（2）如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表：
体育锻炼与身高达标列联表

身高达标
身高不达标
合计
积极参加体育锻炼
60

不积极参加体育锻炼

10

合计

100
①完成上表；
②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？
参考公式：.
参考数据：

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是，，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案
【详解】
由题意得：．
故选：C．
本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应．
2、A
【解析】
首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可．
【详解】
因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A
本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题．
3、D
【解析】
依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，所以
，又在上为单调函数，，即，
所以或，即或
所以总有，故①②正确；
由或图像知，在上单调递增，故③正确；
当时，只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；
综上，所有正确结论的编号是①②③．
本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．
4、C
【解析】
分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。
详解：，所以的解集为，故选C
点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。
5、D
【解析】
对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：由于a＞b＞0，，A错；
当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；
a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．
，D对；
故选D．
本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6、B
【解析】
数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．
【详解】
由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，
从右到左第2行的第一个数为：3×20，
从右到左第3行的第一个数为：4×21，
…
从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2017行只有M，
则M=（1+2017）•22015=2018×22015
故答案为：B．
本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7、C
【解析】
由，得，则，故选C.
8、A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义分析可得答案.
【详解】
显然“”是“”的充分条件，
当时，满足，但是不满足，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
9、B
【解析】
先将、用、表示，然后利用题中的概率求出的值.
【详解】
由题意可知，，则，，，
因此，，
故选B.
本题考查利用正态分布原则求概率，解题时要将相应的数用和加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.
10、A
【解析】
构造新函数，由可得为单调减函数，由可得为奇函数，从而解得的取值范围.
【详解】
解：令
因为，
所以为R上的单调减函数，
又因为，
所以，
即，即，
所以函数为奇函数，
故，
即为，
化简得，
即，即，
由单调性有，
解得，故选A.
本题考查了函数性质的综合运用，解题的关键是由题意构造出新函数，研究其性质，从而解题.
11、C
【解析】
先计算集合N，再计算得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了集合的运算，属于简单题.
12、D
【解析】
分析：先化简集合P,Q，再求.
详解：由题得，，
所以.
故答案为：D.
点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
棱锥的体积转化为的体积，求出底面积与高，从而可得结果.
【详解】
到平面的距离是面对角线的一半，即，
到直线的距离即到直线的距离，，
，
棱锥的体积等于的体积，

本题主要考查锥体体积公式的应用，解题的关键是利用等积变换，将棱锥的底面积与高确定，属于基础题.
14、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.
15、
【解析】
本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.
【详解】
问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．
故答案为：
本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.
16、4
【解析】
把所求式子看作两点间距离的平方，再根据直线与曲线位置关系求最值
【详解】
看作两点之间距离的平方。
点A在直线上，点B在曲线上
，取
所以，即最小值为4.
本题考查两点间距离公式以及利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1).
(2).
【解析】
分析：（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式. （Ⅱ）转化为，再求分段函数的最小值得解.
详解：（I）当a=8时，则
所以
即不等式解集为.
（II）令，由题意可知；

又因为
所以，即.
点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解不等式，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法. (2)第2问可以转化为，注意是最小值，不是最大值，要理解清楚，这里是有解问题，不是恒成立问题.
18、 (1) ；(2),
【解析】
(1)由题可得二次函数的判别式小于0,列式求解即可.
(2)利用韦达定理代入可求得的关系,再化简利用韦达定理表示,换成的形式进行求解即可.
【详解】
(1)由题二次函数的判别式小于0,故,解得.
(2)由为关于的二次方程两个不同的虚根可得, ,又则,得,因为,故,又,
故
故,
本题主要考查了一元二次方程的复数根的性质,注意的意义为的模长为2,故.属于中等题型.
19、 (2+)R
【解析】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
【详解】
解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R的正四面体
设底面正三角形的中心为H,则

故上层小球最高处离桌面的距离为
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
20、（1）（2）（为参数，）.
【解析】
（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；
（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.
【详解】
（1）由得：，代入得：，
的普通方程为.
（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）
与交于不同的两点，即有两个不等实根，
即有两个不等实根，，解得：.
设对应的参数分别为，
则，且满足，
则，.
又点的坐标满足
的轨迹的参数方程为：（为参数，）.
本题考查根据坐标变换求解曲线方程、动点轨迹方程的求解问题；求解动点轨迹的关键是能够充分利用直线参数方程中参数的几何意义，结合韦达定理的形式求得直线上的动点所对应的参数，进而代入直线参数方程求得结果.
21、 (1) ①；； ② (2)见证明
【解析】
（1）①根据递推公式，代入求值即可；
②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；
（2）应用数学归纳法证明.
【详解】
(1) 当时，即
当时，
当时，
当时，
②由此猜想：
证明如下：①当时，，成立；
②假设当时，猜想也成立，即,
则当时，
.
即当时，猜想也成立．
由①②得，猜想成立，即.()
(2) 当时，即
当时，由知不等式成立．
假设当时，命题也成立，即.
由

即当时，命题也成立．
由①②得，原命题成立，即当时，.
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.
22、（1）174，174.55；（2）①列联表见解析；②.
【解析】
（1）根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解；
（2）①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻炼的比例，完成表格；②根据公式计算出即可下结论.
【详解】
（1）平均数，
前两组频率之和为0.25，前三组频率之和为0.8，所以中位数在第三组
中位数为.
（2）根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25，达标所占频率为0.75，
所以身高不达标25人，达标75人，
根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人，
所以表格为：

身高达标
身高不达标
合计
积极参加体育锻炼
60
15
75
不积极参加体育锻炼
15
10
25
合计
75
25
100
假设体育锻炼与身高达标没有关系
.
所以有把握认为体育锻炼与身高达标有关系.
此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键在于数量掌握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.