河南平顶山市2025届高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

河南平顶山市2025届高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的单调递增区间为(  )
A． B． C． D．
2．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
①若，，且∥，则∥；
②若，∥，且∥，则；
③若∥，，且，则∥；
④若，，且，则.
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
5．函数的图象大致为
A． B． C． D．
6．设,且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．曲线的参数方程为，则曲线是（ ）
A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线
8．欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
11．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．
14．已知，向量满足，则的最大值为________．
15．的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
16．直角三角形中，两直角边分别为，则外接圆面积为．类比上述结论，若在三棱锥中，、、两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的表面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：
月份
5
6
7
8
9
10
11
12
研发费用x（百万元）
2
3
6
10
21
13
15
18
产品销量与（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5
（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系
(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);
(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；
（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.
参考数据: ，.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ，.若随机变量X服从正态分布,则，.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为，过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线的斜率为时,求的面积；
(3)在轴上是否存在点,满足？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.
19．（12分）英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）
（1）英语老师随机抽了个单词进行检测，求至少有个是后两天学习过的单词的概率；
（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望．
20．（12分）若，
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
21．（12分）三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面.
22．（10分）已知函数（其中，且为常数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．
【详解】
由可得或，
∴函数的定义域为．
设，则在上单调递减，
又函数为减函数，
∴函数在上单调递增，
∴函数的单调递增区间为．
故选D．
（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．
（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．
2、C
【解析】
先求出直线和圆相交时的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可．
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为，直线方程即为，
所以圆心到直线的距离，
又直线与圆相交，
所以，
解得．
所以在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．
故选C．
本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．
3、B
【解析】
根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.
【详解】
由且，可得，
而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；
由于，，所以，则，故②正确；
若与平面的交线平行，则，
故不一定有，故③错误；
设，在平面内作直线，
，则，又，所以，
，所以，从而有，
故④正确.
因此，真命题的个数是.
故选：B
本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.
4、B
【解析】
根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.
【详解】
解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，
可得是以为底的等腰三角形，
是直角三角形，
，.
又和分别是椭圆和 的半焦距，
，即.
，.
即，.
故选：B.
本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.
5、B
【解析】
由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.
6、B
【解析】
利用不等式性质判断或者举反例即可.
【详解】
对A,当时不满足
对B,因为则成立.故B正确.
对C,当时不满足,故不成立.
对D,当时不满足,故不成立.
故选：B
本题主要考查了不等式的性质运用等,属于基础题型.
7、A
【解析】
由代入消去参数t 得
又所以表示线段。故选A
8、A
【解析】
根据欧拉公式求出，再计算的值.
【详解】
∵，
∴.
故选：A.
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.
9、D
【解析】
由函数，
可得，
所以函数为奇函数，
又，因为，所以，
所以函数为单调递增函数，
因为，即，
所以，解得，故选D．
点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．
10、C
【解析】
试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
11、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
12、B
【解析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．
【详解】
设“长为4的木棍”对应区间，
“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，
则满足的区间为或，
根据几何概率的计算公式可得，．
故答案为．
本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
14、
【解析】
试题分析：由题意得，由若满足知，，当且仅当与同向且时，取等号，所以，而有基本不等式知，
，所以，当且当即时取等号，故的最大值为．
考点：1.向量加法的平行四边形法则；2.基本不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是向量模的运算性质，向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质，属于难题，向量的模的最值运算，一般要化为已知量的关系式，常用的工具，在平行四边形中，再结合基本不等式可得当时，,,即取最大值.
15、
【解析】
因为，所以令，解得，所以=15，解得.
考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.
16、
【解析】
直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径为长方体体对角线长的一半。
【详解】
由类比推理可知：以两两垂直的三条侧棱为棱，构造棱长分别为的长方体，其体对角线就是该三棱锥的外接球直径，则半径．所以表面积
本题考查类比推理的思想以及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.
【解析】
分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.
详解：（1）（i)因为
所以
，
所以关于的线性回归方程为
（ii）当时，（万台）
（注：若，当时，（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）
（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布.
则.
日销量的概率为.
日销量的概率为.
日销量的概率为.
所以每位员工当月的奖励金额总数为元
点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
18、（1）（2）（3）在轴上存在点，满足，且的取值范围为
【解析】
（1）根据题中条件列有关、、的方程组，解出这三个数，可得出椭圆的标准方程；
（2）先写出直线的方程，并设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式求出，计算出原点到直线的距离，可得出的面积为；
（3）①当直线的斜率为零时，得出；
②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题中条件得出，利用斜率关系可得出与之间的关系式，利用函数思想得出实数的取值范围.
【详解】
（1）由已知得，解得：，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线，设点、，
由，得，，
点到直线的距离为，则；
（3）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率为0时，，
当直线的斜率不为0时，设直线，设
由，得
∴，，
的中点，若，则，
，，
综上，在轴上存在点，满足，且的取值范围为.
本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中三角形面积的计算以及直线与椭圆位置关系的综合问题，这种类型问题常用韦达定理法求解，解题时要将题中一些问题等价转化，考查计算能力，属于中等题。
19、（1）；（2）.
【解析】
（I）根据古典概型概率公式求解，（Ⅱ）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.
【详解】
（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得
（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，
则有
，
，

所以的分布列为：

0
1
2
3

故.
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.
20、 (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由不等式的性质可证得.则.
(Ⅲ)利用放缩法可给出结论：,或．
详解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以
(Ⅱ)因为,所以．又因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以.（i)
因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以(ii)
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得.
(Ⅲ)因为，，
所以,或．(只要写出其中一个即可)
点睛：本题主要考查不等式的性质，放缩法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：
(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面 ；
(2)利用题意可得：，，结合线面垂直的结论则有平面．
试题解析：
（1）∵，分别为，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）∵，为的中点
∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面 平面 ∴
∵， ∴ ∵平面，平面，
∴平面．

点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”
22、（Ⅰ）在（0,1），上单调递增，在（1,2）上单调递减（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【试题分析】（1）将代入再求导，借助导函数值的符号确定函数的单调区间；（2）借助问题（1）的结论，对参数进行分类讨论，最终确定参数的取值范围；（3）依据题设条件将问题进行等价转化为的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求：
解：⑴函数的定义域为
由知
当时，
所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在上单调递增
（Ⅱ）由
当时,对于恒成立,在上单调递增
,此时命题成立;
当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是
（Ⅲ）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.
当时,因为函数在上递增,由题意可知解得;
‚当时,因为,当时,总有,此时方程没有实根。
综上所述,当时,方程在上有且只有一个实根。
点睛：解答本题的第一问时，先将代入再求导，借助导函数值的符号确定函数的单调区间；求解第二问时，借助问题（1）的结论，对参数进行分类讨论，最终确定参数的取值范围；解答第三问时，依据题设条件将问题进行等价转化为的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求，从而求出参数的取值范围。