广西柳州铁一中学2025年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析.doc

广西柳州铁一中学2025年数学高二第二学期期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提与推理形式都错误
2．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据

1
3
6
10

8

4
2
他由此得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是( )
①变量与线性负相关 ②当时可以估计
③ ④变量与之间是函数关系
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
3．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
4．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知全集，集合，，那么集合（ ）
A． B． C． D．
8．函数图象交点的横坐标所在区间是( )
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）
9．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　）
A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8
10．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．最低气温低于的月份有个
B．月份的最高气温不低于月份的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份
D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
12．设为虚数单位，若复数满足，则复数（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.
14．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
15．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．
16．的展开式中的系数为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥中，，面，E、F分别为、的中点.如果，，与底面成角.

（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角形式表示）；
（2）求点D到平面的距离.
18．（12分）已知F(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，， 是的中点，是的中点.

(1)求此四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)求证：平面平面．
20．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.
（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；
（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.
21．（12分）如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）

（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
22．（10分）（1）已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵.
（2）已知矩阵的一个特征值为，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.
详解：因为,所以，
所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.
点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
2、C
【解析】
根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.
【详解】
①变量与线性负相关,正确
②将代入回归方程，得到，正确
③将代入回归方程，解得，正确
④变量与之间是相关关系，不是函数关系，错误
答案为C
本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.
3、A
【解析】
试题分析：的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.
考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
4、B
【解析】
根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.
【详解】
由题意，函数满足可知，
函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由函数可知，函数的图象关于直线对称，
画出函数与的图象如图所示：

设图中四个交点的横坐标为，
由图可知，，
所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
5、B
【解析】
试题分析：由题意可知,,,即,
,解得．故B正确．
考点：1二项式系数；2组合数的运算．
6、A
【解析】
通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.
【详解】
对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共
有种可能，答案为A.
本题主要考查乘法分步原理，难度不大.
7、C
【解析】
先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.
【详解】
依题意，故，故选C.
本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.
8、C
【解析】
试题分析：设
的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．
考点：曲线的交点．
【方法点晴】
本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．
9、C
【解析】
设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用条件概率公式能求出结果．
【详解】
一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，
，故选C．
本题考查条件概率，属于基础题．
10、A
【解析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
，
，
，故，
所以．
故选A．
本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
11、A
【解析】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．
【详解】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；
在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；
故选：A．
本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
12、D
【解析】
先由题意得到，，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.
【详解】
因为，所以.
故选：D
本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
设，由圆的切点弦所在直线方程可知的方程为，进而可求圆心到距离，从而求出弦长，结合已知可求出弦长的取值范围.
【详解】
解：设，当时，此时过点与圆相切直线的斜率，
则过点与圆相切直线方程为，即，
当时，，此时切线方程或满足.
综上所述，过点与圆相切直线方程为；
同理，过点与圆相切直线方程为，设，
则直线的方程为，此时圆心到距离.
所以.由可知，
，则，所以.
故答案为: .
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的切线，考查了弦长的求解.在圆中求解弦长时，通常是结合几何法，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求解弦长.
14、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.
15、
【解析】
由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。
【详解】
联立 ，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；
故答案为
本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。
16、-10
【解析】
分析：利用二项式展开式通项即可得出答案.
详解：，
当时，.
故答案为：-10.
点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）先确定与底面所成角，计算SA，再建立空间直角坐标系，利用向量数量积求异面直线与所成角；
（2）先求平面的一个法向量，再利用向量投影求点D到平面的距离.
【详解】
（1）因为面，所以是与底面所成角，即，
因为,以为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,
从而,,
因此
所以异面直线与所成角为，
（2）设平面的一个法向量为,
因为，所以令，
从而点D到平面的距离为
本题考查线面角以及利用向量求线线角与点面距，考查综合分析求解能力，属中档题.
18、（1）单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)；（2）最大值为，最小值为.
【解析】
(1)由微积分基本定理可得出F(x)的表达式，进而求出其导数F′(x)，令F′(x)>0，F′(x)<0解次不等式即可得出F(x)的单调增区间和单调减区间．
(2)由（1）可得F(x)在[1，5]上的单调性，即可得出其最值．
【详解】
解：
(1)F′(x)＝′＝x2－4x，
由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－1<x<0或x>4；
由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．
(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．
因为F(1)＝－2＋＝，F(4)＝×43－2×42＋＝－，F(5)＝×53－2×52＋＝－6，
所以F(x)在[1，5]上的最大值为，最小值为－.
本题考察微积分定理以及利用导数解决函数单调性和闭区间上的最值的问题．属于中档题．
19、（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
(1) 由题意，根据棱锥的体积，即求解该四棱锥的体积；
(2)在上取中点为，连接和，证得，利用线面平行的判定定理，即可求解.
(3)∵，，得到平面，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面⊥平面．
【详解】
(1) 四棱锥的体积.
(2)证明：在上取中点为，连接和，

则易得，且，
且故四边形为平行四边形，故，
又面，面
故面.
(3) 证明：∵， ，
又，
∴平面，
又平面，
∴，
又，
∴平面．
∴平面．
又面，
∴平面⊥平面．
本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20、（1）（2）见解析.
【解析】
（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程
∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m 又 ∴l的方程为：
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ∴m的取值范围是
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可
设
可得
而

∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含方程组，通过解方程组求出基本量，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解．
21、（1），；（2）当时，符合建桥要求.
【解析】
（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.
【详解】
（1）与的正切值之比为
则，
，

，
，
（2）由（1）知：，
，
令，解得：
令，且
当时，，；当时，，
函数在上单调递减；在上单调递增；
时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求
本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.
22、（1）;（2）.
【解析】
（1）依题意，利用矩阵变换求得，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．
（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得的值，即可求得矩阵，运用对角化矩阵，求得所求矩阵．
【详解】
（1）解：，，又，
．
（2）解：矩阵的特征多项式为，
可得，解得，即为.由可得，，
当时，由，即，，即，取，
可得属于3的一个特征向量为；
当时，由，即，，即，取，
可得属于的一个特征向量为.设，则，，
．
本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.