福建省邵武七中2024-2025学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析.doc

福建省邵武七中2024-2025学年数学高二第二学期期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(为虚数单位) ，则
A． B． C． D．
2．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.

由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为
A．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析
C．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发
3．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
6．如图是求样本数据方差的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）

A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是( )
A．“f(0)”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件
B．若 p：，，则：，
C．“若，则”的否命题是“若，则”
D．若为假命题，则p，q均为假命题
8．已知函数，，若，则(　　)
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（ ）
A．甲和丁 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丙
10．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ）
A．105 B．210 C．240 D．630
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______.
14．函数的定义域是_______.
15．已知抛物线的焦点为，点在上，以为圆心的圆与轴相切，且交于点，若，则圆截线段的垂直平分线所得弦长为，则______．
16．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．
证明：；
若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．
18．（12分）已知平行四边形中，，，，是边上的点，且，若与交于点，建立如图所示的直角坐标系.

（1）求点的坐标；
（2）求.
19．（12分）从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量，求：
(1)的分布列；
(2)所选女生不少于2人的概率.
20．（12分）已知
（1）求的最大值、最小值；
（2）为的内角平分线，已知，，，求
21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）点，直线与曲线交于两点，若，求的值．
22．（10分）已知数列满足，
（1）求，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题得，再利用复数的除法计算得解.
【详解】
由题得，故答案为：B
本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
2、B
【解析】
根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。
【详解】
由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为
（万元），
数据分析岗位的平均薪资为（万元），
数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），
数据产品岗位的平均薪资为（万元）。
故选：B。
本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。
3、C
【解析】
分析：由直线与圆相切，得，从而，进而，由此能求出的取值范围.
详解：，直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
解得，
，
，
，
的取值范围是.
故选C.
点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.
4、D
【解析】
由函数，
可得，
所以函数为奇函数，
又，因为，所以，
所以函数为单调递增函数，
因为，即，
所以，解得，故选D．
点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．
5、D
【解析】
就和分类讨论即可.
【详解】
因为当时，，满足；当时，，若，所以或.综上，的值为0或1或2.故选D.
本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.
6、D
【解析】
由题意知该程序的作用是求样本的方差，由方差公式可得.
【详解】
由题意知该程序的作用是求样本的方差，
所用方法是求得每个数与的差的平方，再求这8个数的平均值，
则图中空白框应填入的内容为：

故选：D
本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.
7、C
【解析】
根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
对于A，f （0）＝0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；
函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；
是即不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题p：，
则￢p：∀x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；
对于C，若α，则sinα的否命题是
“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．
对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；
故选C．
本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
8、A
【解析】
分析：先求出g（1）=a﹣1，再代入f[g（1）]=1，得到|a﹣1|=0，问题得以解决．
详解：∵f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），f[g（1）]=1，
∴g（1）=a﹣1，
∴f[g（1）]=f（a﹣1）=5|a﹣1|=1=50，
∴|a﹣1|=0，
∴a=1，
故答案为：A．
点睛：本题主要考查了指数的性质，和函数值的求出，属于基础题．
9、C
【解析】
逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果.
【详解】
若甲说谎，
则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾
若乙说谎
则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾
若丙说谎
则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾
若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二
所以说谎的人是丁
故选：C
本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.
10、D
【解析】
先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．
【详解】
由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为，故选D．
本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
11、C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
12、B
【解析】
试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B．
考点：排列、组合的应用．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
函数有三个零点方程有3个根方程有3个根函数与函数图象有3个交点，利用导数作出函数 的图象，求出实数的取值范围.
【详解】
函数有三个零点函数与函数图象有3个交点，

（1）当时，，

函数在单调递增，单调递减，
（2）当时，，
函数的图象如下图所示：

.
本题考查利用函数的零点，求参数的取值范围，考查利用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力.
14、
【解析】
被开方式大于或等于0，得求解
【详解】
由题知： ，，

定义域为 .
故答案为：
本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为.
(4) 的定义域是．
(5)且，的定义域均为.
(6)且的定义域为．
15、
【解析】
根据条件以A为圆心的圆与y轴相切，且交AF于点B，，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解
【详解】
设，以为圆心的圆与轴相切，则半径，
由抛物线的定义可知，，又，
∴，解得，
则，圆A截线段AF的垂直平分线所得弦长为，
即，解得．
故答案为1．
本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
16、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；
（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）证明：，
，
，
，
又，
，即.
（2）解：

又.
， .
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意写出各点坐标，利用求得点的坐标。
（2）根据求得点的坐标，再计算、，求出数量积。
【详解】

建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由，所以，
设，则,
所以，解得，
所以
（2）根据题意可知，所以,
所以，从而，
。
本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。
19、（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布，，由此能求出ξ的分布列．
（2）所选女生不少于2人的概率为，由此能求出结果．
试题解析：
(1)依题意，的取值为0，1，2，3，4.
服从超几何分布，，.
，
，
，
，
.
故的分布列为：

0
1
2
3
4

(2)方法1：所选女生不少于2人的概率为：

.
方法2：所选女生不少于2人的概率为：

.
20、 (1) ；(2)
【解析】
（1）先利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求最值，（2）先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得，即得结果.
【详解】
（1）

在上单调递增，上单调递减，

（2）中，，中，，
，

中， ，
中， ，

本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式以后正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
21、（Ⅰ），；
（Ⅱ）或1．
【解析】
（Ⅰ）利用极直互化公式即可把曲线的极坐标方程化为普通方程，消去参数t求出直线的普通方程即可；
（Ⅱ）联立直线方程和的方程，结合二次函数的性质得到关于的方程，由t的几何意义列方程，解出即可．
【详解】
（Ⅰ）．
，
，
而直线l的参数方程为(为参数），
则l的普通方程是：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，l的参数方程为(为参数）②，
将②代入①得：，
故，
由，即
解得：或1．
本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题．
22、 (1) ，猜想.
(2)见解析.
【解析】
分析：（1）直接由原式计算即可得出，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可.
详解：
（1），猜想.
（2）当时，命题成立；
假设当时命题成立，即，
故当时，，
故时猜想也成立.
综上所述，猜想成立，即.
点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题.