江苏省苏州市吴江高级中学2025届数学高二下期末调研试题含解析.doc

江苏省苏州市吴江高级中学2025届数学高二下期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
2．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
②若开启2号或4号，则关闭1号；
③禁止同时关闭5号和1号.
则阀门的不同开闭方式种数为（ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
3．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
4．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（　）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
5．用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0
6．已知是虚数单位，，则计算的结果是（）
A． B． C． D．
7．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有( )
A．36种 B．24种 C．18种 D．9种
8．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是
A．24 B．32 C．36 D．48
9．已知命题，，命题q：若恒成立，则，那么(　　)
A．“”是假命题 B．“”是真命题
C．“”为真命题 D．“”为真命题
10． “人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）
A．分层抽样 B．回归分析 C．独立性检验 D．频率分布直方图
11．过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为1，则的焦距为（ ）
A． B．3 C． D．5
12．函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知则_______．
14．的展开式中常数项为______ ．
15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.
16．两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点为抛物线上异于原点的任意一点，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于点，点关于轴的对称点为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）如果，求实数的取值范围.
18．（12分）设函数）.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.
19．（12分）已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．
（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；
（2）求的最大值；
（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．
20．（12分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．

（1）求证：DF∥平面BCE；
（2）求证：平面ADF⊥平面BCE．
21．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

22．（10分）已知矩阵.
（1）求；
（2）求矩阵的特征值和特征向量.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.
【详解】
命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：为限定词，为条件，为结论；而的否定为，的否定为，
所以的否定为
故本题正确答案为C.
本题考查了命题的否定,属于简单题.
2、A
【解析】
分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果.
【详解】
解：依题意，第一类：若开启3号，
则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号，
此时有1种方法；
第二类：若关闭3号，
①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，
此时有种3方法；
②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号，
此时有种3方法；
综上所述，共有种方式.
故选：A.
本题考查分类加法计数原理，属于中档题.
3、B
【解析】
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案.
详解：，
.
故选：B.
点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
4、C
【解析】
天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果．
【详解】
由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C．
本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5、C
【解析】
根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.
【详解】
命题“若，则”，
要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，
所以正确的反设为，
故选C项.
本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.
6、A
【解析】
根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．
【详解】
解：，
，
故选A．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
7、C
【解析】
分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数。
【详解】
甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有种；（2）都抢到5元的红包，有种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有种，故总共有18种．故选C．
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类。
8、A
【解析】
特殊元素优先排，相邻元素捆绑排，然后再分析剩余元素的排列.
【详解】
先排，方法有：种；将捆绑在一起，方法有：种；将这个整体和以及全排列，方法有：种，所以六位数的个数为：个，
故选：A.
本题考查排列组合的简单应用，难度一般.在排列组合的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则.
9、D
【解析】
分别判断命题的真假性，然后再判断每个选项的真假
【详解】

，即不存在，
命题是假命题
若恒成立，
⑴时，，即符合条件
⑵时，则
解得
，则命题为真命题
故是真命题
故选
本题考查了含有“或”“且”“非”命题的真假判定，只需将命题的真假进行判定出来即可，需要解答一元二次不等式，属于基础题．
10、C
【解析】
根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。
【详解】
本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系，符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选：C.
本题考查独立性检验适用的基本情形，熟悉独立性检验的基本思想是解本题的概念，考查对概念的理解，属于基础题。
11、C
【解析】
利用点到直线的距离可求得，进而可由勾股定理求出，再由解方程即可求出结果．
【详解】
不妨设，则其到渐近线的距离，
在直角中，，
所以，所以，
所以椭圆C的焦距为．
故选：C．
本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．
12、B
【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
x用x+1代入二项式，可得，只需求二项式展开式的第3项，即可求。
【详解】
x用x+1代，可得，由第3项公式，得，填8.
二项式定理的应用
(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．
(2)二项式展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，而不是第r项．
14、15
【解析】
把展开，求的系数，但无项，所以常数项为展开式中常数项乘以3.
【详解】
展开式中通项为，
当时，；由于，无正整数解，所以常数项为15，填15.
本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．
15、
【解析】
由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.
【详解】
以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，
而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点： ，
所以概率
故得解．
本题考查古典概型，属于基础题.
16、
【解析】
在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）设，计算得到，直线的方程为，得到答案.
（2）计算，设，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.
【详解】
（1）设，因为，所以，
由三点共线得，化简得，
即，由此可得，所以直线的方程为，
即，因此直线恒过定点.
（2），，令，
如果，则；
如果，则，
当时，，时等号成立，从而，即；
当时，函数在上单调递减，当时，，故，
故，所以，故.
综上，实数的取值范围为.
本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）利用导数的意义，设切点，得斜率，列方程求即可；
（2）由（1）得当，；当时，，取绝对值构造函数即可.
试题解析：
（1）设切点的坐标为，由，得，
所以切线方程为，即，
由已知和为同一条直线，所以，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
当且仅当时等号成立，所以.
（2）①当时，有（1）结合函数的图象知：
存在，使得对于任意，都有，
则不等式等价，即，
设 ，
由得，由得，
若，因为，所以在上单调递减，
因为，
所以任意，与题意不符，
若，所以在上单调递增，
因为，所以对任意符合题意，
此时取，可得对任意，都有.
②当时，有（1）结合函数的图象知，
所以对任意都成立，
所以等价于，
设，则，
由得得，，
所以在上单调递减，注意到，
所以对任意，不符合题设，
总数所述，的取值范围为.
点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.
19、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
（1）当直线AB的斜率不存在时，将代入椭圆方程可得，即可得原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，与椭圆方程联立，可得，又，则，利用韦达定理代入化简可得，则原点O到直线AB的距离，故原点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；
（3）如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，，可得P，A，B三点共线. 由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值，即可得点的轨迹方程.
【详解】
（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由代入椭圆方程可得：，解得，此时原点O到直线AB的距离为．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，．
联立，化为，
，则，，
．
，
化为，
化为，
化为，
原点O到直线AB的距离．
综上可得：原点O到直线AB的距离为定值．
（2）解：由（1）可得，
，
，
又，

当且仅当时取等号．
的最大值为．
（3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，．
因此P，A，B三点共线．
由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值．
分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为．

本题主要考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，考查了逻辑推理和运算求解能力，属于难题.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
(1)证明四边是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；
(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】
证明：（1）相互平行，四边形是梯形．，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
∴
（2）∵平面，平面，
,
,,
∴平面，
∵平面，∴平面平面.
本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24
【解析】
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
22、 (1) (2) 特征值为，，分别对应特征向量，．
【解析】
（1）利用矩阵的乘法求得结果；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量.
【详解】
(1)
(2)矩阵的特征多项式，
令得，
时， ，解得，取得
时， 解得，取得
∴矩阵的特征值为，，分别对应特征向量，．
该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.