云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二下数学期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数为奇函数,则（ ）
A． B． C． D．
2．a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成60°角；
③直线与a所成角的最小值为45°；
④直线与a所成角的最大值为60°；
其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）

A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
C．两个分类变量无关系 ^
D．两个分类变量关系难以判断
7．将函数图象上所有的点向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ）
A．144 B．192 C．216 D．240
9．将点的极坐标化成直角坐标是(   )
A． B． C． D．
10．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在时取得极大值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设离散型随机变量的概率分布如下：

则的值为__________．
14．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.
15．不等式的解为______．
16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，其中，且，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
19．（12分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.
环比增长率（本期数上期数）上期数，
同比增长率（本期数同期数）同期数.
下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：
序号

时间
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
消费者信心指数

2017年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月

求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；
除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？
由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，，.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）①求点的直角坐标；
②若直线与曲线交于，两点，求.
21．（12分）（1）求方程的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
22．（10分）在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算
【详解】
由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.
解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.
2、C
【解析】
由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故，，
斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，
直线的方向单位向量，1，，，
直线的方向单位向量，0，，，
设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，
其中为与的夹角，，，
在运动过程中的向量，，，，，
设与所成夹角为，，
则，，
，，③正确，④错误．
设与所成夹角为，，
，
当与夹角为时，即，
，
，，
，，，此时与的夹角为，
②正确，①错误．
故选：．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
3、C
【解析】
分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．
解答：解：根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，
由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），得图象是一段下降的直线，
由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，
综合，得图象是C，
故选C．
点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
4、D
【解析】
函数中的取值范围与函数中的范围一样.
【详解】
因为函数的定义域为，所以，所以，
所以函数的定义域为.选D.
求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.
5、C
【解析】
分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.
详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，
所以，甲、丙相邻的概率为.
故选C.
点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.
6、A
【解析】
分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强.
故选A
点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.
7、C
【解析】
根据平移得到，函数关于点中心对称，得到答案.
【详解】
根据题意：，故，取，故.
故函数关于点中心对称，由，则
故，则正确，其他选项不正确.
故选：.
本题考查了三角函数平移，中心对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8、C
【解析】
由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.
【详解】
因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；
当个位数字是0时，共有种可能；
当个位数字是5时，共有种情况；
因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.
故选C
本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.
9、A
【解析】
本题考查极坐标与直角坐标的互化
由点M的极坐标，知
极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为
即
故正确答案为A
10、C
【解析】
根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
令，则在上单调递增
为奇函数 为偶函数
则在上单调递减
等价于
可得：，解得：
本题正确选项：
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.
11、D
【解析】
求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f（x）在x＝1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，由此求得a的范围得答案．
【详解】
由，得
f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．
当a≥0时，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．
∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
则f（x）在x＝1取得极小值，不符合；
当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），
为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．
∴a的取值范围是a＜﹣e．
故选：D．
本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
12、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选B．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：离散型随机变量的概率之和为1
详解：解得：。
点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。
14、
【解析】
直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．
【详解】
，
则复数z的模为．
故答案为．
本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．
15、或或或
【解析】
利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.
【详解】
，由组合数公式得，得，
整理得，即，解得，
由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.
故答案为：或或或.
本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
16、13cm
【解析】
设球半径为R，则，
解得，故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】
（1）为奇函数
又
当时，是奇函数，满足题意

（2），
又
；

本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（1）根据已知可得，可证平面，从而有，再由已知可得，可证平面，即可证明结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出坐标，再求出平面法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）因为底面，底面，
所以.又因为，，
所以平面.又因为平面，
所以.
因为，是的中点，所以.
又因为，所以平面.
而平面，所以.
（Ⅱ）因为两两垂直，所以以为原点，
所在直线分别为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，于是.
设平面的一个法向量为.
，.
由得，
令，则，得.
设与平面所成的角为，则

.
故与平面所成角的正弦值是.

本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
19、；个；；.
【解析】
根据所给数据求出同比增长率即可；由本期数上期数，结合图表找出结果即可；
根据所给数据求出相关系数，求出回归方程，代入的值，求出的预报值即可.
【详解】
解：该地区年月份消费者信心指数的同比增长率为；
由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共个月的环比增长率为负数.
由已知计算得：，，
线性回归方程为.
当时，，即预测该地区年月份消费者信心指数约为.
本题考查回归方程问题，考查转化思想，属于中档题.
20、（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②
【解析】
（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.
【详解】
解（Ⅰ），
曲线.
（Ⅱ）①，，.
②将代入，得，
，，
.
本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）56；（2）840种，计算过程见解析
【解析】
（1）利用隔板法求结果；
（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.
【详解】
（1）若定义，其中，
则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是
从而方程的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
从1个安检口通过共有：种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；
从4个安检口通过共有：种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：种.
本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
22、（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：
由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．
试题解析：
（1）∵平面平面平面，
∴，
又，
∴两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
∴，
∵，
∴；
（2）由已知，得是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
∵，
由，得，
令，得.
∴，
由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角，
∴平面与平面所成二面角的余弦值为．