2024-2025学年安徽省郎溪中学高二下数学期末统考试题含解析.doc

2024-2025学年安徽省郎溪中学高二下数学期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则此函数的导函数
A． B．
C． D．
2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
3．的展开式中的系数为
A． B． C． D．
4．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
5．用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0
6．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是　　
A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则
C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则
7．已知点在抛物线的准线上，为的焦点，过点的直线与相切于点，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．设非零向量满足，，则向量间的夹角为(　　)
A．150° B．60°
C．120° D．30°
10．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
11．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是__________．
14．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.1．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．
15．已知从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，，，共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和个白球，共有种取法，即有等式成立，试根据上述思想，化简下列式子：________，
16．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其对称轴为y轴（其中为常数）.
（1）求实数的值；
（2）记函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）求证：不等式对任意成立.
18．（12分）唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是，，；能通过“碾”这道工序的概率分别是，，；由于他们平时学徒刻苦，都能通过“罗”这道工序；
若这三道工序之间通过与否没有影响，
（Ⅰ） 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率，
（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数的分布列.
19．（12分）已知函数在处有极值.
（1）求的解析式.
（2）求函数在上的最值.
20．（12分）已知定义域为的函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知两条互相垂直的直线，经过椭圆的右焦点，与椭圆交于四点，求四边形面积的的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：根据对应函数的求导法则得到结果即可.
详解：函数，
故答案为：D.
点睛：这个题目考查了具体函数的求导计算，注意计算的准确性，属于基础题目.
2、B
【解析】
分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.
详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.
3、D
【解析】
分析：先求出二项式展开式的通项，再令x的指数为4得到r的值，即得的展开式中的系数.
详解：由题得二项展开式的通项为,
令10-3r=4,所以r=2,所以的展开式中的系数为.
故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)的展开式中的系数为,不是,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.
4、B
【解析】
根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。
【详解】
由已知可得：矩形的面积为，
又阴影部分的面积为，
即点取自阴影部分的概率为，故选。
本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。
5、C
【解析】
根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.
【详解】
命题“若，则”，
要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，
所以正确的反设为，
故选C项.
本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.
6、D
【解析】
根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【详解】
命题“若，则方程有实根”的逆否命题是命题“若方程没有实根，则”，
故选：D．
本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
7、B
【解析】
根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N的坐标，进而求得面积.
【详解】
点在抛物线的准线上,可得到p=2,方程为：，切点N（x,y）,满足，过点的直线设为和抛物线联立得到，
，取k=1,此时方程为
的面积为:
故答案为：B.
这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.
8、D
【解析】
求得函数的导数，然后令，求得的值.
【详解】
依题意，令得，，故选D.
本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
9、C
【解析】
利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角.
【详解】

即

本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角.
10、C
【解析】
首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到所求单调递增区间.
【详解】
因为，
根据余弦函数的性质，
令，可得，
所以函数的单调递增区间是，故选C.
该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用.
11、B
【解析】
记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．
【详解】
记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，则事件乙和甲丙都相邻，所求事件为，
甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，
由古典概型的概率公式可得.
乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得，
由条件概率公式可得，故选B.
本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．
12、A
【解析】
将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.
【详解】

中心点为：代入回归方程

故答案选A
本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值．
详解：
每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p，
且各引擎是否有故障是独立的，
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；
4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，
2引擎飞机可以正常工作的概率是p2
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，
依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，
化简得3p2﹣4p+1＜0，
解得＜p＜1．
故选：B．
点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．
14、
【解析】
至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．
【详解】
∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.1．
∴连续掷一枚图钉3次，
出现2次针尖向上的概率为：0.132，
出现3次针尖向上的概率为：0.216，
故至少出现2次针尖向上的概率，
故答案为：．
本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．
15、
【解析】
在式子中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，从装有球中取出个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．
【详解】
在中，
从第一项到最后一项分别表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，
取出个球的所有情况取法总数的和，
故从装有球中取出个球的不同取法数.
故答案为：
本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．
16、
【解析】
试题分析：至少有一次正面向上的概率为，恰有一次出现反面向上的概率为，那么满足题意的概率为．
考点：古典概型与排列组合．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）证明见解析
【解析】
（1）由二次函数的性质可知对称轴为,则,即可求解；
（2）由（1）,则,转化函数有两个不同的零点为方程有两个不相等的实数根,则,进而求解即可；
（3）将与分别代入中可得,利用配方法证明即可.
【详解】
（1）解:因为的对称轴为轴,而的对称轴为,
所以有,所以
（2）解:依题意有两个不同的零点,
即关于的方程有两个不相等的实数根,
所以,即,则
（3）证明:因为
恒成立,
所以对恒成立
本题考查二次函数的图象与性质的应用,考查二次函数零点的个数的问题,考查不等式恒成立的证明.
18、（Ⅰ）0.35；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）甲、乙、丙中恰好有一人通过,可分为：甲过，乙、丙不过；乙过，甲、丙不过；丙过，乙、甲不过。
（Ⅱ）先求出甲、乙、丙制成饼茶的概率，，.随机变量的可能取值为，，，，分别求出其概率，写出分布列即可。
【详解】
解：（I）设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，则所求概率

（II）甲制成饼茶的概率为，同理，.
随机变量的可能取值为，，，，

故的分布列为

本题主要考查简单随机变量的分布列，属于基础题。
19、 (1) (2) 最大值为为
【解析】
分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.
详解：（1）由题意：，又
由此得：
经验证：
∴
（2）由（1）知
，
又
所以最大值为为
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）先由求出，然后由求出
（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.
【详解】
（1）因为是上的奇函数，
所以，即，解得.
从而有.又由知，解得.
经检验，当时，，满足题意
（2）由（1）知，
由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.
因为是上的减函数，由上式推得.
即对一切有，从而，解得.
本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意可得，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．
【详解】
（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1
故椭圆C的方程为；
（2）当直线l1的方程为x＝1时，此时直线l2与x轴重合，
此时|AB|＝3，|MN|＝4，
∴四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|＝1．
设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线l1：x＝ky+1，直线l2：xy+1，
由x＝ky+1和椭圆1，可得（3k2+4）y2+1ky﹣9＝0，
判别式显然大于0，y1+y2，y1y2，
则|AB|••，
把上式中的k换为，可得|MN|
则有四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|••，
令1+k2＝t，则3+4k2＝4t﹣1，3k2+4＝3t+1，
则S，
∴t＞1，
∴01，
∴y＝﹣（）2，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
∴y∈（12，]，
∴S∈[，1）
故四边形PMQN面积的取值范围是
本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于难题．
22、（Ⅰ），（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有，因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，
得,由韦达定理有．解之得：或（舍去）
试题解析：（Ⅰ）由得,
∴曲线的直角坐标方程为．
直线的普通方程为．
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，
得,
设两点对应的参数分别为,
则有．
∵,∴, 即．
∴．
解之得：或（舍去）,∴的值为．
考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义