2024-2025学年重庆市彭水一中高二下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年重庆市彭水一中高二下数学期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
3．设不等式组所表示的平面区域为，若直线的图象经过区域，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为( )

1

A． B． C．或 D．
5．函数在上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种
A．27 B．81 C．54 D．108
8．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若集合， 则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
12．若复数满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数对应的点在第四象限；③若是纯虚数，则实数；④若，则；⑤“复数为纯虚数”是“”的充要条件；⑥复数；⑦复数满足；⑧复数为实数.其中正确命题的是______.（填序号）
14．已知实数满足则的最大值为__________．
15．在数列中，若，，则该数列的通项________.
16．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：的参数方程是，（为参数）. 以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、 于，两点，求.
18．（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.

(1)求证：AE//平面PDC；
(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.
19．（12分）已知复数z满足z=﹣1．
（1）求复数z的共轭复数 ；
（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．
20．（12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．

（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；
（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．
21．（12分）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
22．（10分）已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．
详解：由题得椭圆C方程为：，
∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），
∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）
∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为
d==|sin﹣1|，
由此可得：当θ=时，dmax=（）
∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.
点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知
识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.
2、A
【解析】
首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可．
【详解】
因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A
本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题．
3、C
【解析】
由约束条件作出可行域，由直线过定点，数形结合求得定点与可行域内动点连线的斜率的范围，则答案可求．
【详解】
由不等式组作出可行域，如图.

直线表示过点斜率为的直线.
直线的图象经过区域
即将轴绕点沿逆时针旋转到点的位置.
.
所以直线的图象经过区域，其斜率.
故选：C
本题考查了直线系方程，考查了直线的斜率，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4、A
【解析】
由离散型随机变量ξ的概率分布表知：
.
解得.
故选：A.
5、A
【解析】
对函数进行求导：，
由可得：，即函数在区间上是增函数，在区间和区间上是减函数，
观察所给选项，只有A选项符合题意.
本题选择A选项.
6、A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
7、B
【解析】
以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.
【详解】
甲在五楼有种情况，
甲不在五楼且不在二楼有种情况，
由分类加法计数原理知共有种不同的情况，
故选B.
该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.
8、C
【解析】
分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.
详解：由题得
所以
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望
9、C
【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
详解：由题意，复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
10、C
【解析】
由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．
【详解】
求解二次不等式可得：，则．
据此可知：，选项A错误；
，选项B错误；
且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．
本题选择C选项，故选C．
本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
11、A
【解析】
根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.
【详解】
由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.
12、C
【解析】
先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.
【详解】
因为
故：
故其共轭复数为：
故选：C.
本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、⑧
【解析】
根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；
②复数对应的点在第二象限，②错误；
③若是纯虚数，则实数，③错误；
④若，不能得到，举反例，④错误；
⑤“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件，⑤错误；
⑥复数，取，不能得到，⑥错误；
⑦复数满足，取，，⑦错误；
⑧复数为实数，根据共轭复数定义知⑧正确.
故答案为：⑧.
本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.
14、3
【解析】
分析：画出不等式组对应的可行域，利用线性规划就可以求出的最大值．
详解：可行域如图所示，由的，当东至县过时，，故填．

点睛：一般地，二元不等式（或等式）条件下二元函数的最值问题可以用线性规划或基本不等式求最值．
15、
【解析】
根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.
【详解】
因为，所以，所以是等差数列且公差，又，
所以，所以，
故答案为：.
本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.
16、
【解析】
根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.
【详解】
由三视图可知，几何体为底面半径为，高为的圆锥
圆锥的母线长为：
圆锥的侧面积：
本题正确结果：
本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）:,:;（2）.
【解析】
试题分析：（1）首先写出的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和的直角坐标方程,互化公式为 ；（2）根据图象分析出 .
试题解析：（1）将参数方程化为普通方程为，即，
∴的极坐标方程为.
将极坐标方程化为直角坐标方程为.
（2）将代入 整理得，
解得，即.
∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线 与相交，即，即.
故.
18、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．
【详解】
解：（1）证明：取的中点，连结、，
是的中点，，且，
，，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面．

（2）解：，是等腰三角形，
，又，，
平面，平面，
，又，平面，
平面，，，
又，平面，
连结，，则就是直线与平面所成角，
设，
在中，解得，，，
在中，解得，
在中，，
直线与平面所成角的余弦值为．

本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19、（1）（2）﹣1≤a≤0
【解析】
（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；
（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．
【详解】
解：（1）
，
．
（2）
，
，
，
，
则，，，
所以，实数的取值范围是：．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
20、（1）（2）见解析
【解析】
分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.
通过，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．
（2）由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
详解：
（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.
∴
∴.故所求概率为.
（2）可能取值为

分布列为

所以，.
点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21、37
【解析】
试题分析：解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法．
考点：本题主要考查分类、分步计数原理的综合应用．
点评：是一道综合性较强的题目，分类中有分步，要求有清晰的思路．首先将人员分属集合，按集合分类法处理，对不重不漏解题有帮助．
22、 (1)；(2).
【解析】
试题分析：
(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；
(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.
试题解析：
（1）由得，
在上单调递增，，
的取值范围是.
（2）存在，使不等式成立，
存在，使不等式成立.
令，从而，
，
，
在上单调递增，
.
实数的取值范围为.