2024-2025学年福清市福清华侨中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2024-2025学年福清市福清华侨中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设，且，若能被100整除，则等于（ ）
A．19 B．91 C．18 D．81
3．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．144种 B．108种 C．72种 D．36种
5．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3，则的取值范围是(   )
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的流程图中，输出的含义是（ ）

A．点到直线的距离
B．点到直线的距离的平方
C．点到直线的距离的倒数
D．两条平行线间的距离
8．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（ ）
A．70 B．140 C．420 D．840
9．下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）
A．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切
B．在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差
C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D．线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位
10．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左右焦点分别，，焦距为4，若以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量，，若与垂直，则的值为_____
14．设，其中、、、、是各项的系数，则在、、、、这个系数中，值为零的个数为______．
15．若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
16．求曲线在点处的切线方程是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
组别

男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
红包金额（单位：元）
10
20
概率

现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

18．（12分）已知二次函数 ，设方程有两个实根 （Ⅰ）如果，设函数的图象的对称轴为，求证：；（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.
19．（12分）如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．

(1)求圆锥的侧面积；
(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；
(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．
20．（12分）如图，多面体，平面平面，，，，是的中点，是上的点.

（Ⅰ）若平面，证明：是的中点；
（Ⅱ）若，，求二面角的平面角的余弦值.
21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的极大值．
22．（10分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．
详解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，
对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，
故选C．
点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．
2、A
【解析】
将化为，根据二巷展开式展开后再根据余数的情况进行分析后可得所求．
【详解】
由题意得

，
其中能被100整除，
所以要使能被100整除，
只需要能被100整除．
结合题意可得，当时，能被100整除．
故选A．
整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项，本题考查二项展开式的应用，属于中档题．
3、A
【解析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】
解：∵，
∴，
∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），所在的象限为第一象限．
故选：A．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
4、C
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分3步进行分析：
①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，
②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A42种情况，
③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，
则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C42A42×1＝72种，
故选：C．
点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．
(2)完成每一步有若干种方法．
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
5、D
【解析】
将问题变为，即有个整数解的问题；利用导数研究的单调性，从而可得图象；利用恒过点画出图象，找到有个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】
由得：，即：
令，

当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
，且，
由此可得图象如下图所示：

由可知恒过定点
不等式的解集中整数个数为个，则由图象可知：
，即，解得：
本题正确选项：
本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系.
6、B
【解析】
试题分析：此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为．故选D．
考点：相互独立事件的概率乘法公式．
点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．
7、A
【解析】
将代入 中,结合点到直线的距离公式可得.
【详解】
因为,,
所以,故的含义是表示点到直线的距离.
故选A.
本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.
8、C
【解析】
试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到西部不同的地区，方法数有种.
考点：排列组合.
9、A
【解析】
分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．
详解：A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；
B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误
对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与有关系”可信程度越大; 故B错误；
C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；
D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.
故选A.
点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.
10、D
【解析】
取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.
【详解】
取中点，连接，如下图所示：

为边上的高 ，
即为二面角的平面角，即且平面
为正三角形 为正三角形
又为中点
平面 ， 平面
又平面
即为点到的距离
又，
本题正确选项：
本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.
11、A
【解析】
已知，又以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有，于是可得，从而得椭圆方程。
【详解】
∵以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴，又即，∴，
∴椭圆方程为。
故选：A。
本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定关系。
12、C
【解析】
由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．
【详解】
由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，
由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，

由图象可知，，当时，，
则函数与函数在上没有交点，
结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.
本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
与垂直
14、
【解析】
求出的展开式通项为，列举出在的所有可能取值，从而可得出、、、、这个系数中值为零的个数.
【详解】
，而的展开式通项为.
所以，的展开式通项为，
当时，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，
因此，在、、、、这个系数中，值为零的个数为.
故答案为.
本题考查二项展开式中项的系数为零的个数，解题的关键就是借助二项展开通项，将项的指数可取的全都列举出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15、-2
【解析】
试题分析：因为，所以由，因此
【考点】二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.
16、
【解析】
因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:

非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为

10
20
30
40

.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
18、 (1)见解析（2）
【解析】
分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.
详解：

（1）设，且，则由条件x1<2< x2<4
得

（2）
，
又
或综上：
点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.
19、 (1)；(2)；(3)
【解析】
（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.
【详解】
（1）设圆锥高为，母线长为
由圆锥体积得：
圆锥的侧面积：
（2）作交圆锥底面圆于点，连接，

则即为异面直线与所成角
由题意知：，
，又

即异面直线与所成角为：
（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为

又 ，即为边长为的等边三角形
设为的中心，连接，则
三棱锥为正三棱锥 平面
即为侧棱与底面所成角

即侧棱与底面所成角为：
本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.
20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用线面平行的性质定理，可以证明出，，利用平行公理可以证明出，由中位线的性质可以证明出N是DP的中点；
（Ⅱ）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，过G作于H，连接AH,利用面面垂直和线面垂直，可以证明出为二面角的平面角,在直角三角形中，利用锐角三角函数，可以求出二面角的平面角的余弦值；
方法2：由平面平面PBC，可以得到平面PBC，，
而即，于是可建立如图空间直角坐标系（C为原点），利用空间向量的数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.
【详解】
（I）设平面平面，
因为平面PBC，平面ADP，所以，
又因为，所以平面PBC，
所以，
所以，
又因为M是AP的中点，所以N是DP的中点.
（II）方法1：
在平面ABCD中作于垂足G，
过G作于H，连接AH（如图），

因为平面平面PBC，，
所以平面PBC，，，，
所以平面PBC，,
所以平面，
所以为二面角的平面角,
易知，，又,
所以在中，易知，，，
所以.
（II）方法2：
因为平面平面PBC，
所以平面PBC，，
而即，
于是可建立如图空间直角坐标系（C为原点），

得，，，
所有，，
设平面APB的法向量为，则
，，
不妨取，得，
可取平面PBC的法向量为，
所求二面角的平面角为，则.
本题考查了线线平行的证明，考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题问题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）将点代入切线方程得出，利用导数的几何意义得出，于此列方程组求解出实数、的值；
（Ⅱ）求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求出函数的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值。
【详解】
（Ⅰ）由，得．
由曲线在点处的切线方程为，
得，，
解得．
（Ⅱ），．
，解得；
，解得；
所以函数的增区间：；减区间：，
时，函数取得极大值，函数的极大值为．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，求解时要熟练应用导数求函数极值的基本步骤，另外在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两个要点：
（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；
（2）切点是切线与函数图象的公共点。
22、 (1)略；(2)
【解析】
（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；
（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，
所以，所以，,
所以，又由，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）因为，所以，
以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
由图形可知二面角的平面角是钝角，
设二面角的平面角为，
所以，
即二面角的余弦值为.

本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.