2024-2025学年安徽马鞍山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年安徽马鞍山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ）
A．720 B．360 C．270 D．180
4．已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．56 B．72 C．64 D．84
7．已知的三边满足条件，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．复数是虚数单位的虚部是　　
A． B．1 C． D．i
10．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在内的概率为（ ）

A． B． C． D．
11．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
12．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.
14．二项式的展开式中，含的系数为_______．
15．已知，的取值如下表所示：

从散点图分析，与线性相关，且，以此预测当时，_______.
16．曲线在处的切线方程为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图在直三棱柱中，，为中点．

（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．
18．（12分）已知命题：.
（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设命题：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.
19．（12分）设函数.
(Ⅰ)求不等式的解集；
(Ⅱ)求证:，并求等号成立的条件.
20．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
21．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
22．（10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为.

（1）试用r表示圆柱的表面积S；
（2）若圆柱的体积为，求点D到平面的距离.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．
详解：由，则成立，反之：如，则不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．
点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出的值.
详解：命题：，，则为，是真命题，即恒成立，的最大值为1，所以
故选A.
点睛：含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定

3、D
【解析】
由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.
【详解】
解：根据题意，分两步进行：
① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有中情况；
② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，
则一共有种不同的安排方案，
故选：D.
本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.
4、D
【解析】
先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.
【详解】
，，.故选D.
本题主要考查复数的模计算，较基础.
5、A
【解析】
分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
6、D
【解析】
分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.
详解：分两种情况：
（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；
（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．
共有84种，故答案为：D.
点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
7、D
【解析】
由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.
【详解】
由可得：，
则，据此可得.
本题选择D选项.
本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、B
【解析】
画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.

【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
9、B
【解析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得答案．
【详解】
，
复数的虚部是1．
故选B．
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10、B
【解析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可.
【详解】
这个数据中位于的个数为，故所求概率为
故选B
本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.
11、D
【解析】
先排美国人和俄国人，方法数有种，剩下人任意排有种，故共有种不同的站法.
12、C
【解析】
由二项式定理可知，为正数，为负数，令代入已知式子即可求解.
【详解】
因为，
由二项式定理可知，为正数，为负数，
所以.
故选：C
本题考查二项式定理求系数的绝对值和；考查运算求解能力；属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．
详解：．
故答案为1．
点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．
14、1
【解析】
根据题意，由展开式的通项，令，可得，将代入通项计算可得答案．
【详解】
根据题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，
此时，
即含的系数为1，
故答案为：1．
本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项展开式的通项公式，属于中档题．
15、
【解析】
根据表格数据分别求出，代入求出的值，再计算当时的值。
【详解】
由表格知道 代入
得
即
当时
故填6
本题考查线性回归直线，属于基础题，掌握线性回归直线过中心点是解题的关键。
16、y=2
【解析】
分析：求函数的导数，计算和，用点斜式确定直线方程即可.
详解：，，
又，故切线方程为.
故答案为.
点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：
（1）点在曲线上，在点处的切线方程
①求导数；②切线斜率；
③切线方程.
（2）点在曲线上，过点处的切线方程
①设切点；②求导数；③切线斜率；
④切线方程；
⑤将点代入直线方程求得；
⑥确定切线方程.
（3）点在曲线外，步骤同（2）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（I）连结，由题意可证得，从而得为中点，所以，又由题意得得，所以得．（也可通过面面垂直证线面垂直）（II）由题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量分别为，，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值．
试题解析：
（I）证明：连结，

∵ 平面平面，平面，
∴ ，
∵ 为中点，
∴ 为中点，
∵ ，
∴ ①，
法一：由平面，平面，
得，②，
由①②及，
所以平面．
法二：由平面，平面，
∴ 平面平面，
又平面平面,
所以平面．
（II）解：由，得，
由（I）知，又，得，
∵ ，
∴ ，
∴ 两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
得，，
设是平面的一个法向量，
由，得,
令，得，
设为平面的一个法向量，
由，得.
令，得，
∴
根据题意知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
点睛：向量法求二面角大小的两种方法
（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题时要注意结合实际图形判断所求二面角为锐角还是钝角．
（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
18、（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）若为真命题，结合对数函数的定义域可得，解不等式组求得答案；（Ⅱ）“”为真命题且“”为假命题，则真假或假真，解出命题，对真假和假真两种情况进行讨论，从而得到答案．
【详解】
（Ⅰ）因为，所以可得 ，
所以当命题为真命题时，解得；
（Ⅱ）易知命题：.
若为真命题且为假命题，则真假或假真，
当真假时，，方程组无解；
当假真时，，解得；
综上，为真命题且为假命题时，实数的取值范围是.
本题主要考查利用命题与复合命题的真假关系求变量的取值范围，属于一般题．
19、 (Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)利用零点分类法，进行分类讨论，求出不等式的解集；
(Ⅱ)法一：，
当且仅当时取等号，再根据三角绝对值不等式，可以证明出，当且仅当时取等号，最后可以证明出，以及等号成立的条件；
法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的的值.
【详解】
解:(Ⅰ)当时，，解得
当时，，解得
当时，，无实数解
原不等式的解集为
(Ⅱ)证明:法一:，
当且仅当时取等号
又，当且仅当时取等号
，等号成立的条件是
法二:
在上单调递减，在上单调递增
，等号成立的条件是
本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.
20、（1）；（2）.
【解析】
（Ⅰ）由已知，有

所以事件发生的概率为.
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望
考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.
21、 (1) ，；(2) ，.
【解析】
(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
22、（1）
（1）
【解析】
（1）利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．
（1）利用圆柱的体积，求出底面半径，通过VC﹣OEF＝VO﹣CEF，求解点C到平面OEF的距离．
【详解】
解：（1）∵O1A与母线所成的角为20°，AO＝r，所以O1Or，
圆柱的表面积S＝1πr1+11（1）πr1．
（1）∵圆柱的体积为9π，∴，∴r．
2．
，
，
∴，

本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题．