2024-2025学年上海市晋元高中数学高二第二学期期末经典模拟试题含解析.doc

2024-2025学年上海市晋元高中数学高二第二学期期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（ ）
A．与异面. B．与相交.
C．与平行. D．与异面、相交、平行均有可能.
2．设，，都为大于零的常数，则的最小值为（ ）。
A． B． C． D．
3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为
A． B． C． D．
6．若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )
A．2个 B．4个 C．3个 D．多于4个
7．已知命题，.则命题为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于(　　)
A． B． C． D．
9．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
10．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有
A．6 个 B．8个 C．10个 D．12个
11．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合,集合,则
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为偶函数，当时，，则__________．
14．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台．
15．已知cos,则二项式的展开式中的系数为__________．
16．某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆E：的离心率为分别是它的左、右焦点，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.
18．（12分）已知平行四边形中，，，，是边上的点，且，若与交于点，建立如图所示的直角坐标系.

（1）求点的坐标；
（2）求.
19．（12分）已知数列中，，。
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
20．（12分）已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.
（1）若，求；
（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.
21．（12分）在中，角的对边分别.
（1）求；
（2）若，求的周长．
22．（10分）已知直线的参数方程为为参数和圆的极坐标方程为
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，
∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），
故选D．

2、B
【解析】
由于，乘以，然后展开由基本不等式求最值，即可求解．
【详解】
由题意，知，可得，则，
所以

当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意给要求的式子乘以是解决问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．
3、C
【解析】
试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．
考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．
点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．
4、D
【解析】
取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
【详解】
取的中点.连接.
因为为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形.
所以.故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角.
因为,
所以.
所以.即为直角三角形,
从而.
故选D

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5、C
【解析】
∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=PA＝2，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中点，且AD=BD=CD=∴OD= ∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2,

故选C.
点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到的外接圆的圆心D即可有 OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点到底面的距离.
6、B
【解析】
在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.
【详解】
因为偶函数满足，所以函数的周期为2，
又当时，，故当时，，
则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，
即方程有4个根，故选B.

本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7、D
【解析】
利用全称命题的否定解答.
【详解】
命题，.命题为，.
故选D
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、D
【解析】
分析：直接计算 f(n+1)-f(n).
详解：f(n+1)-f(n)

故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于，因为前面还有项没有减掉.
9、C
【解析】
试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
10、B
【解析】
分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；
然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．
最后，求得0与2不相邻的四位数
详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．
其中数字0，2相邻的四位数有：
则0与2不相邻的四位数有。
故选B
点睛：本题考查排列数的求法，考查乘法原理、排列、捆绑法，间接法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
11、D
【解析】
根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，
其焦点在y轴正半轴上，且p=，
则其准线方程为y=﹣；
故选：D．
12、D
【解析】
，，则，选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由偶函数的性质直接求解即可
【详解】
.
故答案为
本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力
14、30；
【解析】
根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等.
【详解】
抽到乙种型号的吊车台，则，解得：.
本题考查简单随机抽样中的分层抽样.
15、
【解析】
分析：由微积分基本定理求出，再写出二项展开式的通项，令的指数为1，求得，从而求得的系数．
详解：，
二项式展开式通项为，令，则．∴的系数为．
故答案为－1．
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
16、
【解析】
含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.
【详解】
质检员从中随机抽出2听共有种可能，而其中含有不合格品共有种可能，于是概率为：.
本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，，结合的关系即可求解．
（2）设直线,，，联立方程可得，又，结合韦达定理可得，化简计算即可求解．
【详解】
（1）因为，所以，又，所以，
椭圆的方程为；
（2）因为，所以直线斜率存在
设直线,，
消理得
，（*）
又理得
即
所以（*）代入得
整理的得，所以直线定点
本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意写出各点坐标，利用求得点的坐标。
（2）根据求得点的坐标，再计算、，求出数量积。
【详解】

建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由，所以，
设，则,
所以，解得，
所以
（2）根据题意可知，所以,
所以，从而，
。
本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。
19、 (1)见证明； (2)
【解析】
（1）由题设条件，化简得到，即可证得数列为首项为，公差为的等差数列，进而求得通项公式．
（2）由（1）可得 ，利用求和公式即可得出．
【详解】
（1）因为，且，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
所以，即.
（2）因为，
所以.
本题主要考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）设，，联立直线的方程和抛物线方程可得，然后利用即可求出
（2）根据（1）中结果可得到，同理，由可推出，然后写出直线的方程化简即可.
【详解】
（1），
设，
由得

，，解得
（2），
同理，，
所以
化简得：
直线过定点
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦定理，余弦定理可得cosA，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由已知利用三角形的内角和定理可求B，C的值，进而根据正弦定理可求a，c的值，即可得解△ABC的周长
【详解】
(1)根据.
可得, 即
所以.
又因为,所以.
(2).所以.
因为.所以.
则的周长为.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
22、（1），；（2）相交.
【解析】
（1）利用加减消参法得到直线l的普通方程，利用极坐标转化直角坐标公式的结论转化圆C的方程；（2）利用圆心到直线的距离与半径的比较判断直线与圆的位置关系.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为；圆极坐标方程化为．两边同乘以得，消去参数，
得⊙的直角坐标方程为：.
（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．