2024-2025学年辽宁省沈阳市康平县第一中学高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年辽宁省沈阳市康平县第一中学高二数学第二学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）
A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元
2．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．甲､乙､丙､丁､戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人､环境监测､教育咨询､交通宣传､文娱活动五个项目,每人限报其中一项,记事件为“5名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则( )
A． B． C． D．
4．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
5．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，则等于（　　）
A．9 B．10 C．27 D．81
7．已知，那么（ ）
A．20 B．30 C．42 D．72
8．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，则
A． B． C． D．
10．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )
A．0 B．1 C． D．3
11．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(　　)

A． B．
C． D．
12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）

14．已知，则___________；
15．若的展开式中的常数项为，则实数的值为______.
16．若实数满足不等式组则的最小值是_____，最大值是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．

（1）求甲能参加音乐社团的概率；
（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差
18．（12分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：

（1）记表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：

手机产量部
手机产量部
改造前

改造后

（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.
临界值表：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

19．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.

广告投入/万元
1
2
3
4
5
销售收益/万元
2
3
2
5
7
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：
表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.
附：，
20．（12分）已知1．
（1）求tan（）的值；
（1）求3sin1θ+4cos1θ的值．
21．（12分）每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.

（I）求实数的值；
（Ⅱ）在，，三组中利用分层抽样抽取人，并从抽取的人中随机选出人，对其消费情况进行进一步分析.
（i）求每组恰好各被选出人的概率；
（ii）设为选出的人中这一组的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
22．（10分）已知函数对任意实数都有，且.
（I）求的值，并猜想的表达式；
（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数，所以，
当时，，函数为单调递增函数；
当时，，函数为单调递减函数，
所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】
试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．
考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．
点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．
3、A
【解析】
由条件概率与独立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.
【详解】
由已知有事件概率为：，
事件概率为：P(AB)=，
所以P(A|B)=，
故选：A.
本题考查条件概率的计算，条件概率的两种求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法: 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB) ,得P(B|A)=，本题属于基础题.
4、A
【解析】
根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案．
【详解】
由题意知，设双曲线的方程为，化简得．

解得．
所以双曲线的方程为，故答案选A．
本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上．
5、C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
6、C
【解析】
利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
由题意，在数列中，，即
可得数列表示首项，公比的等比数列，
所以，故选C.
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7、B
【解析】
通过计算n，代入计算得到答案.
【详解】

答案选B
本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.
8、A
【解析】
先由复数的除法，化简z，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以.
故选A
本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.
9、C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
10、D
【解析】
根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。
【详解】
点M(1,f(1))在切线上，所以
根据导数几何意义，所以
所以
所以选D
本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。
11、C
【解析】

取BD的中点E，连结CE，AE，
∵平面ABD⊥平面CBD，
∴CE⊥AE，
∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，
∵BD=,∴CE=AE=，
∴△CEA的面积S=××=，
故选C.
12、D
【解析】
分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数 ，由此能求出正面向上的次数的分布列
详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.
故选D.
点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用待定系数法求出分段函数的解析式，再由y值大于62求解即可得解.
【详解】
当x∈（0，12]时，设f（x）＝a（x﹣10）2+80，
过点（12，78）代入得，a
则f（x）（x﹣10）2+80，
当x∈(12，40]时，
设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得 ，即y＝﹣x+90，
由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
所以4＜x＜28，
则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，
故答案为（4，28）．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式及分段函数解不等式，属于基础题.
14、
【解析】
分别令和，代入求值，然后两式相减计算结果.
【详解】
当时，
当时，，
两式相减：，
所以：.
故答案为：
本题考查二项展开式求系数和，重点考查赋值法，属于基础题型.
15、
【解析】
求出的展开式的通项，令的指数为0，求出常数项，建立的方程，即可求解.
【详解】
依题意展开式的通项公式为.
令，得，
所以展开式中的常数项为，解得.
故答案为：
本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.
16、3 9
【解析】
根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值和最小值，由图象可知过时，最小；过时，最大，求出坐标，代入可得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

令，则求的最大值和最小值即为求在轴截距的最大值和最小值
由平移可知，当过时，最小；过时，最大
由得：；由得：
，
本题正确结果：；
本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值问题的求解，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2)分布列见解析； 数学期望；方差
【解析】
（1）先求得基本事件的总数为，然后计算出与圆心构成直角三角形或钝角三角形的取法数之和，再利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望和方差.
【详解】
解：（1）从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有种，其中与圆心构成直角三角形的取法有8种:，与圆心构成钝角三角形的取法有种: .所以甲能参加音乐社团的概率为：.
（2）由题意可知：，的可能取值为：0,1,2,3.

所以的分布列为：

0
1
2
3

数学期望
方差
本小题主要考查古典概型概率计算，考查二项分布分布列、期望和方差的计算，属于中档题.
18、（1）0.1（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）
【解析】
（1）由改造前的频率分布直方图计算前五个小长方形的面积即可得到答案．
（2）由频率分布直方图补充表格，计算随机变量的观测值与临界值表中的数据比较即可得结论．
（3）先估计中位数所在区间，然后利用中位数左右两侧长方形面积相等列式计算即可．
【详解】
解：（1）改造前手机产量低于5000部的频率为，
因此，事件的概率估计值为0.1．
（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：

手机产量部
手机产量部
改造前
1
38
改造后
34
66

由于，
故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关．
（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，
手机产量低于5000部的直方图面积为，
手机产量低于5500部的直方图面积为，
所以中位数在之间，设改造后手机产量的中位数为，
则
故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．
本题考查由频率分布直方图计算概率与中位数，独立性检验，属于简单题．
19、 (1).
(2).
(3).
【解析】
分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可得
，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的 性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当时，销售收益预测值，再求残差值.
详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可知
，
故.
（Ⅱ）由题意，可知，，
，，
根据公式，可求得，，
所以关于的回归方程为
.
（Ⅲ）当时，销售收益预测值（万元），又实际销售收益为万元，所以残差
点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20、（1）；（1）．
【解析】
（1）利用齐次式求得tanθ，再利用二倍角求得tan1θ，进而利用两角差的正切求解即可；（1）利用同角三角函数的平方关系结合齐次式求解即可
【详解】
（1）∵1，
∴tanθ，∴tan1θ．
∴tan（）．
（1）由（1）知，tanθ，
∴3sin1θ+4cos1θ＝6sinθcosθ+4（cos1θ–sin1θ）
．
本题考查同角三角函数的基本关系，考查两角差的正切，二倍角公式，熟记公式是关键，是中档题
21、（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）见解析
【解析】
（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出；
（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量的所有可能取值为.
【详解】
解（Ⅰ）由题意，得，解得.
（Ⅱ）按照分层抽样，，，三组抽取人数分别为，，.
（ⅰ）每组恰好各被选出人的概率为.
（ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
则的分布列为

统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.
22、（I）；（II）证明见解析.
【解析】
（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.
【详解】
（I），
，
，
，
猜想.
（II）证明：当时，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时猜想成立.
综上，对于一切均成立.
本题考查抽象函数求值与归纳猜想.