高考数学导数专题讲座.doc

2008年复课备考《导数》（文科）专题讲座

一、基础训练：
1． 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
解：曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。
2．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解：在内单调递增，则在上恒成立。
；反之，，
在内单调递增，选C。
3．曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________
解：点(1，-3)在曲线上，故切线的
∴切线方程为，即
4．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　　.
解：令＝0，得＝2，＝－2，＝17，（3）＝－1， （－2）＝24，
（2）＝－8，所以，M－＝24－（－8）＝32。

二、例题精讲：
例1．设函数在及时取得极值。
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
解：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即 解得，．
（2）由（1）可知，，．
当时，；当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，
所以　，解得　或，因此的取值范围为．

例2．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在上的最大值和最小值。
解：（1）∵为奇函数，∴即
∴ ∵的最小值为∴，又直线的斜率为 ，因此，∴，，．
（2），，列表如下：

极大

极小

　　所以函数的单调增区间是和
（3）∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．

例3．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明: ；（2）求z=a+2b的取值范围。
解：求函数的导数．
（1）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以 当时，为增函数，，由，得．
（2）在题设下，等价于　即．
化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：
所围成的的内部，其三个顶点分别为：
．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．

例4．设函数（），其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的极大值和极小值。
解：（1）当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．
（2），．
令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．
若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．

例5．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

例6．设函数．
（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），
当时，取最小值，即．
（2）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：

递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，
所以的取值范围为．

例7．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：（1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有，
又由已知条件，，于是有，
所以．
（2）根据（1），我们有．

2

12

0

0

极小

极大

故时，达到极大值．
因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

三、反馈训练：
1、设函数f（x）= -cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
解：（1）

． 由于，，
故当时，达到其最小值，即．
（2）．
列表如下：

极大值

极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，
极小值为，极大值为．
2、已知函数在区间，内各有一个极值点．
（1）求的最大值；（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，
所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，
时等号成立．故的最大值是16．
（2）由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
3、 已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数, 又
(1)求的解析式;(2)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
解：（1），由已知，
即解得
，，，．
（2）令，即，，或．
又在区间上恒成立，.