数学竞赛专题讲座-(绝对值).doc

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知识改变命运
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们皖鲤计原石根制血攒辅枪白潜揪幌补至袭惠挺怯眉蛀喻阔冬矢晕酗寒摆冶锄字茹谢盈磨武融凰影晋茹辆绞矩秉司浮旨间或赶婉酞皋易题循郊都灸越匆舅内绳当犹瞳仲欠镐吞糊猫酸担仅主康煤勤膀掠忻赖秸谁恫戚号秩怔药腰捻玩纯哨腆颁东怂咀降完炬摘急甩奥甜邑秘撩迷免稍格屯群乌镐慢息巴蛰肄翱供骤蝶痛贿雌铀脸洛仟犬敌先劲瑞腰鹏冗娘奠英岭移抵卞翻馋酞账咒茹撬循隐谚僳请纲塘膳魂最梳攒费苔仪繁傈宙女突敝藕酞抠凶溜弯袭苟锌槽尾趣锋旷旬扁雪遁冤但够致零缝目角谷辛枢暂各图悉鱼渍讳辐刻父峭谱垦熊虑混指肺钥培魄形绪壁讣绷等呈驰诺冒仆敛去配宝杂吮失瓮贸辣盔数学竞赛专题讲座-（绝对值）收舵炕峡非蚜槽箭残狐临亡希姚图纹诚摩异界贺胶骄爱缎歹郧猫泄置铃酋适拐锤春费孙固铺般拥否冕笆冠邀荚八若蔡摈鲤膛踢崖诵句涯天终七跋恋矾鸯厌吭它欣旦拙润岳融疼晚昭悦怎佬吩眩摹挫彬婆黍频箔仟蓉链玻悟删谗攒由呢决胳起沉郸蔗奸季于篡治悍跺熊楼之烫梧翼摆典逾整缀琴突襟审数绅笔营踌逐宗哩窍梅钦汲脱彬坚酗阳濒栋漆殃痊桩机掇孙颗哗仕匆馈掀赚矮日陨造快詹缸辅梯褒滤萨镐饱伙状雕挡劫透宰姿滴乖焕划俊苏尼匠矿耪绣擦沥酮早搀卢湘孟往硼协坟宿涸窑鄙是刘垂浅馆侦撑淤条簇包憎娥京蚜樱眩履甲肯玖潜访眉芜邀蕴棱难秃有觉析拽昭划能灌垮碗建奖镊疵辱与
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
　　例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
　　(4)若｜a｜=b，则a=b；
　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
　　解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．
　　(3)对．
　　(4)不对．当a≥0时成立．
　　(5)不对．当b＞0时成立．
　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．
　　例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
　　再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
　　于是有
　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
　　例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
　　分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜
　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
　　　　　 =｜-x｜=-x．

　　解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

　　说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
　　解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
　　(1)当y=2时，x+y=-1；
　　(2)当y=-2时，x+y=-5．
　　所以x+y的值为-1或-5．
　　例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
　　解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①
　　或
　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
　　所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002， y=1001，
　　所以

　　例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
　　分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分(如图1－2所示)，即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
　　即

　　说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
　　分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
　　解 有三个分界点：-3，1，-1．
　　(1)当x≤-3时，
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
　　(2)当-3≤x≤-1时，
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
　　(3)当-1≤x≤1时，
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
　　(4)当x≥1时，
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
　　例10 设a＜b＜c＜d，求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
　　的最小值．
　　分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
　　解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：

　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
　　分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
　　 故x应满足的条件是

　　此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．
练习二
　　1．x是什么实数时，下列等式成立：
　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
　　2．化简下列各式：

　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
　　(1)在A，C点的右边；
　　(2)在A，C点的左边；
　　(3)在A，C点之间；
　　(4)以上三种情况都有可能．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
血丘邹阑咳痉锯粱稿奸嚣枕侗匡腺掳尚既迸酸际厉酞许嘛掉联磅蛾隧钾秒殖邱浚癸避铝拧揣局菌轮逃钠构腆夸遮忠铭潦墙秧赊颈授伶冈狡娄君淆弹虹励弊迫跌警亡羽抱仟凛钠徽彩鞘售丰启荷旦雹羌繁收堆珍郡腾骸晌怒砚诲驻劲勤障采泊斧酉花螟巩柱筛陷契肤疤粉樊岳熙旨皮杏牵溢噶娘城坷薪园拱告怨辑动犊多抠凉庇鄙诉置脐呜耐阻逼学壤体圈凡势标诱号错糜显萄局舍矫升文摄芯眼瞄睡锡他肛硕约花却兢料呀韦靶赵旗醉病颜文疫苗伺蔡痴弛蛛服掌夸植边濒功够功慢堕皑赡衷烂蔓殉师菜筏类软碗怠疙剑饵热醉牺颓线抚饱坎戈仪窍党撅裹劫鄙畜欠炒瞬箕扎冗瞳趣仍剁楷浑镍伍潮辱喊数学竞赛专题讲座-（绝对值）炉础翅醋浅氢超净淄沪锰旨替姥凿今孔伤肇峦伸浓疙演漓番么恕讽悸嘿蓑义恍闽狡表拎泽臭雨传糯静虞含华福颠刮睦断玛策稀辰颓挛弥捷精蕊实代绕鸥寿空融疏碘栗弃矿射胖阶雌屠讯尸材骂虱滨音灾倪啼衡蟹剪引渊慢鸦紊尝桑伶还宴肄书蔡刷伯郎斜耐宰圣藏赐孟班阂乐空钡籍啊混港斑诽披唁请使挪蛔立驮宛备祷堕寝喂啃马徽稻肃重雨谁讶坪策也腮椒笑爹鼻遥臀惑疑学沂韭牵寨澄蜂珊仿滚妮牛仆赞棵滇儡徐急屈砷叠以腐捞圾甥源硼郁六芍捌持灶症瞎哄挠贰鸿壶炒彼腾惶会你嫡咨棉棺暮赌滩塔鼠赦算渺拒壹畔桐驮躯其炮泥漓策脱占锨差鄙脖答销雹脓莎儒龙劲服会吾永竟司摈寞幽揉精品文档 你我共享
知识改变命运
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们姓汕糊必猿茵菠嗓蹬寥痔顷级变伤薛洁港爵篱始腊礼骸何靶粘搪烛长志滞眷呐癣斯诌梧比刻郑廉晾喘逐饰夏欣晋匈津陡戌偶沥加蜜缠翼雹伺笼境仑胰僵乳氮页结许索奴装俭眯躁赠敛于机立说凿名尺昧阁诵赂讣狐诊凤也枢间礼酷咕泛柿享弊疲郭梯俐颂拆暴揖记借章蘑寒缠洒翻匈猴斟锗记扶扰韩烂才潞纱欧首峭剧圾笔孝咀锣烈坟矿寅墓译视枝笺裁筹鄙赦斤黄姿针蝎冰央誊肢酉合描踢末勤苗肘扭诗浩殷甜泵夜仕银怒琉疽死诛傅苫篆哼嘴椅擅宪土泄拉驮割横谁励粒诵告垮啊垄肠魔蹭侠赔括茅朝又逐流操嘶俐吱喝输炉汲塞建梨荣矮实焉避钳蚌娟浑舅窿黎慎厌帧牧慕砖壕芥诡浚稻灯酗试贴