1、2008年复课备考导数（文科）专题讲座一、基础训练：1 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A B C D解：曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，)，围成的三角形面积为，选A。2设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件解：在内单调递增，则在上恒成立。；反之，在内单调递增，选C。3曲线在点(1，一3)处的切线方程是_ 解：点(1，-3)在曲线上，故切线的切线方程为，即4已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.解：令0，得2，2，17，（3）1， （2）24，（2）8，所以，M24（8）32。二、例题精讲：例1设函
2、数在及时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。解：（1），因为函数在及取得极值，则有，即 解得，（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为例2设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在上的最大值和最小值。解：（1）为奇函数，即 的最小值为，又直线的斜率为 ，因此，（2），列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和（3），在上的最大值是，最小值是例3已知函数在处取得极大值，在处取
3、得极小值，且（1）证明: ；（2）求z=a+2b的取值范围。解：求函数的导数（1）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以 当时，为增函数，由，得（2）在题设下，等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，其三个顶点分别为：在这三点的值依次为所以的取值范围为例4设函数（），其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值。解：（1）当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（2），令，解得或由于，以下分两种情况讨论若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且若，当变化时，的正负如下表：因
4、此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且例5用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而 令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积
5、为3 m3。例6设函数（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围解：（1），当时，取最小值，即（2）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为例7某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：（1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期
6、的获利为，则依题意有，又由已知条件，于是有，所以（2）根据（1），我们有21200极小极大故时，达到极大值因为，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大三、反馈训练：1、设函数f（x）= -cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,xR,其中1，将f(x)的最小值记为g(t). (1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.解：（1） 由于，故当时，达到其最小值，即 （2）列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为2、已知函数在区间，内各有一个极值点（1）求的最大值；（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（2）由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故3、 已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数, 又(1)求的解析式;(2)若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.解：（1），由已知，即解得，（2）令，即，或又在区间上恒成立，.
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