初中数学换元法专题讲座.doc

初中数学换元法专题讲座
讷河市孔国乡进化中心学校 刘桂兰
一、相关概念
1、换元就就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母得表达式用另一个(些)字母得表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法。
2、换元得目得就是化繁为简,化难为易,连接已知与未知。
例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等。换元得关鍵就是选择适当得式子进行代换。
3、换元要注意新旧元得取值范围得变化。要避免代换得新变量得取值范围被缩小;若新变量得取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验。
4、二元对称方程(组)
二元对称方程:方程中得未知数x、y互换后,方程保持不变得方程称为二元对称方程;
二元对称方程组:由两个二元对称方程组成得方程组称为二元对称方程组。
解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换。
5、倒数方程
倒数方程:按未知数降幂排列后,与首、末等距离得项得系数相等。
例如:一元四次倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0。
两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0。
设x+=y, 那么x2+= y2－2,
原方程可化为ay2+by+c－2=0。
对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0,必有一个根就是－1。
原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。
ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这就是四次倒数方程。
形如:ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 得方程,其特点就是:
与首、末等距离得偶数次幂项得系数相等,奇数次幂得系数就是互为相反数。
两边都除以x2, 可化为a(x2+)－b(x－)+c=0。
设x－=y, 则x2+=y2+2, 　
原方程可化为 ay2－by+c+2a=0。
二、例题讲解
例1 解方程=x。
解:设=y, 那么y2=2x+2。
原方程化为:　y－y2=0 。
解得 y=0;或y=2。
当y=0时,　=0 (无解)
当y=2时,　=2,
解得,x=。　　检验(略)。
例2 解方程:x4+(x－4)4=626。
解:(用平均值　代换,可化为双二次方程。)
设 y= x－2 ,则x=y+2。　　　　
原方程化为　　(y+2)4+(y－2)4=626。
［(y+2)2－(y－2)2]2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理,得y4+24y2－297=0。 (这就是关于y得双二次方程)。
(y2+33)(y2－9)=0。 　
当y2+33=0时,　无实根 ; 　　
当y2－9=0时,　y=±3。
即x－2=±3, 　　∴x=5;或x=－1。
例3 解方程:2x4+3x3－16x2+3x+2=0 。
解:∵这就是个倒数方程,且知x≠0,
两边除以x2,并整理　得2(x2+)+3(x+)－16=0。
设x+=y,　则x2+=y2－2。
原方程化为　2y2+3y－20=0。
解得　y=－4;或y=。
由y=－4得　x=－2+;或x=－2－。
由y=得　x=2;或x=。
例4　解方程组
解:(这个方程组得两个方程都就是二元对称方程,可用基本对称式代换。)设x+y=u, 　xy=v。 原方程组化为:
。 解得;　　或。
即　;　　或 。
解得:;或;或;或。
三、练习题
解下列方程与方程组:(1—13题):
1、 35－2x。
2、(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2。
3、(2x+7)4+(2x+3)4=32 。
4、(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16。
5、(2)4+(2)4=16。
6、=。 　　　　7、2x4－3x3－x2－3x+2=0。
8、 　　　　　 　9、。
10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6。 11、。 　　　　　　　
12、。 13、 。　　　　　　
14、 分解因式:
　 ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2;　
②a4+b4+(a+b)4 。
15、 已知:a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989。　　　
则a=___,b= ____,c=_____,d=____。
16、［a］表示不大于a得最大整数,如［］=1,［－］=－2,
那么 方程 ［3x+1］=2x－ 得所有根得与就是_____。
练习题参考答案
1、 　2、 ±± 　　　3、 － 　　　 4、 2,－,　
5、 6、 1 7、,2 　8、
9、 　10、－,－ 　　　11、 　 12、
13、 　　　
14、①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y 15、设原式=k, k=442 　　　　
16、 –2可设2x－=t, x=t+代入[3x+1]