初中数学换元法专题讲座.doc

初中数学换元法专题讲座讷河市孔国乡进化中心学校 刘桂兰一、相关概念1、换元就就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母得表达式用另一个(些)字母得表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法。2、换元得目得就是化繁为简,化难为易,连接已知与未知。例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等。换元得关鍵就是选择适当得式子进行代换。3、换元要注意新旧元得取值范围得变化。要避免代换得新变量得取值范围被缩小;若新变量得取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验。4、二元对称方程(组)二元对称方程:方程中得未知数x、y互换后,方程保持不变得方程称为二元对称方程;二元对称方程组:由两个二元对称方程组成得方程组称为二元对称方程组。解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换。5、倒数方程倒数方程:按未知数降幂排列后,与首、末等距离得项得系数相等。例如:一元四次倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0。两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0。设x+=y, 那么x2+= y22, 原方程可化为ay2+by+c2=0。对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0,必有一个根就是1。原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这就是四次倒数方程。形如:ax4bx3+cx2bx+a=0 得方程,其特点就是: 与首、末等距离得偶数次幂项得系数相等,奇数次幂得系数就是互为相反数。两边都除以x2, 可化为a(x2+)b(x)+c=0。设x=y, 则x2+=y2+2, 原方程可化为 ay2by+c+2a=0。二、例题讲解例1 解方程=x。解:设=y, 那么y2=2x+2。原方程化为:yy2=0 。解得 y=0;或y=2。当y=0时,=0 (无解) 当y=2时,=2, 解得,x=。检验(略)。 例2 解方程:x4+(x4)4=626。解:(用平均值代换,可化为双二次方程。)设 y= x2 ,则x=y+2。原方程化为(y+2)4+(y2)4=626。 (y+2)2(y2)222(y+2)2(y2)2626=0整理,得y4+24y2297=0。 (这就是关于y得双二次方程)。(y2+33)(y29)=0。 当y2+33=0时,无实根 ; 当y29=0时,y=3。即x2=3, x=5;或x=1。例3 解方程:2x4+3x316x2+3x+2=0 。 解:这就是个倒数方程,且知x0,两边除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)16=0。 设x+=y,则x2+=y22。原方程化为2y2+3y20=0。 解得y=4;或y=。由y=4得x=2+;或x=2。由y=得x=2;或x=。例4解方程组解:(这个方程组得两个方程都就是二元对称方程,可用基本对称式代换。)设x+y=u, xy=v。 原方程组化为:。 解得;或。即;或 。解得:;或;或;或。三、练习题 解下列方程与方程组:(113题):1、 352x。2、(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2。3、(2x+7)4+(2x+3)4=32 。4、(2x2x6)4+(2x2x8)4=16。5、(2)4+(2)4=16。6、=。 7、2x43x3x23x+2=0。8、 9、。10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6。 11、。 12、。 13、 。14、 分解因式: (x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2; a4+b4+(a+b)4 。 15、 已知:a+2=b2=c2=d2, 且a+b+c+d=1989。则a=_,b= _,c=_,d=_。16、a表示不大于a得最大整数,如=1,=2,那么 方程 3x+1=2x 得所有根得与就是_。练习题参考答案1、 2、 3、 4、 2, 5、 6、 1 7、,2 8、9、 10、, 11、 12、13、 14、设x+y=a,xy=b 设a2+b2=x,ab=y 15、设原式=k, k=442 16、 2可设2x=t, x=t+代入3x+1