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高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)函数f(x)的导函数f(x)为f(x)的导函数.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：考点一导数的计算【例1】 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)因为yx31，所以y(x3)(1)3x2.【训练1】 (1) 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()A.e B.1 C.1 D.e解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案B (2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3，则a的值为_. (2)f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案(2)3考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例2】 (2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析(1)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0. 答案2xy0【训练2】(2017威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 (2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.答案B命题角度二求切点坐标【例3】 (2017西安调研)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析由yex，知曲线yex在点(0，1)处的切线斜率k1e01.设P(m，n)，又y(x0)的导数y，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2.依题意k1k21，所以m1，从而n1.则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)【训练3】若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.解析(1)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e). 答案(1)(e，e)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例4】 (2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.又该切线与yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，a0且a28a0，解得a8.答案8【训练4】1.函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_.函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，而f(x)a，即a在(0，)上有解，a2，因为a0，所以22，所以a的取值范围是(，2).答案 (2)(，2)2.点P是曲线x2yln x0上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A.1 B. C. D.解析点P是曲线yx2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小，直线yx2的斜率为1，令yx2ln x，得y2x1，解得x1或x(舍去)，故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线yx2的距离等于，点P到直线yx2的最小距离为.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知 识 梳 理函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)1时，g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0. 考点二求函数的单调区间【例2】 (2015重庆卷改编)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，得x(x1)(x4)0.解之得1x0或x0).则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去.当x(0，5)时，f(x)0.f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).考点三已知函数的单调性求参数【例3】 (2017西安模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x0.h(x)ax2.若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，(*)则a恒成立，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立.(*)h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.【训练3】 已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(1，1)，求a的值.解(1)因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)3x2a0在R上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，当且仅当x0时取等号.f(x)x31在R上是增函数.所以实数a的取值范围是(，0.(2)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)在(，)上为增函数，所以a0不合题意.当a0时，令3x2a0，得x，f(x)的单调递减区间为，依题意，1，即a3.第3讲导数与函数的极值、最值知 识 梳 理1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件:如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值【例1】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此时f(x)2时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值【例2】 求函数f(x)xaln x(aR)的极值.解由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.命题角度三已知极值求参数【例3】 已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc在x1处有极值，试求b，c的值.解f(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值.若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1).当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)001f(x)极小值12极大值当x1时，f(x)有极大值，满足题意.故b1，c3为所求.【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0).(1)当a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围.解由题意得f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)3x24x1.令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x1.所以函数在和(1，)上单调递增；在上单调递减.故函数f(x)的极小值是f(1)13212111.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，故f(x)0或f(x)0恒成立.当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(1)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围是.考点二利用导数求函数的最值【例4】 (2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值.解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值.解(1)由f(x)aln xbx2，得f(x)2bx(x0).函数f(x)在x1处与直线y相切.解得(2)由(1)知f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1x0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0.令f(x)0，则g(x)ax2(2ab)xbc0，3和0是yg(x)的零点，且f(x)与g(x)的符号相同.又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.【训练3】 (2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减.f(x)在(0，)上没有极值点.当a0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值.综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的最大值是1.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质【例1】 (2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x取得最大值，最大值为f lnaln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1).【训练1】设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1，4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.解(1)由f(x)x2x2a2a，当x时，f(x)的最大值为f2a；令2a0，得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间.(2)已知0a2，f(x)在1，4上取到最小值，而f(x)x2x2a的图象开口向下，且对称轴x，f(1)112a2a0，f(4)1642a2a120，则必有一点x01，4，使得f(x0)0，此时函数f(x)在1，x0上单调递增，在x0，4上单调递减，f(1)2a2a0，f(4)64168a8aa1.此时，由f(x0)xx020x02或1(舍去)，所以函数f(x)maxf(2).考点二利用导数研究函数的零点或方程的根【例2】 (2015北京卷)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点.(1)解由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去).f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，).f(x)在x处取得极小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点.当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题【例3】 (2017合肥模拟)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围.解(1)g(x)3x22ax1，由题意3x22ax10的解集是，即3x22ax10的两根分别是，1.将x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由题意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，设h(x)ln xx，则h(x)，令h(x)0，得x1或(舍)，当0x0，当x1时，h(x)x，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x2ln xx，f(x).当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)x，得f(x)xx2ln x(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0，1)时，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)1.故a11，a1时，f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，).则有F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1时，f(x)x1.【训练4】 (2017泰安模拟)已知函数f(x)ln x.(1)求函数F(x)的最大值；(2)证明：0时，0xe；当F(x)e，故F(x)在(0，e)上是增函数，在(e，)上是减函数，故F(x)maxF(e).(2)证明令h(x)xf(x)xln x，则h(x)1，当h(x)0时，0x0时，x1，故h(x)在(0，1)上是减函数，在(1)上是增函数，故h(x)minh(1)1.又F(x)max1，故F(x)h(x)，即xf(x).