高考数学导数题型归纳(文科).doc

（二次函数区间最值的例子）
第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

例5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网
题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、

例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；
(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,
∴
∵ ∴
又∵ 在处的切线与直线平行,
∴ 故
∴ ……………………. 7分
(Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线,
∴ 所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 ,
由 得点F的横坐标为:
由 得点G的横坐标为:
∴ 即
解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H ,
由 得直线L与AC交点为:
∵ , ,
∴ 所求直线方程为: 或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0
得
（Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3
所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：（1）

………………………………………………………………………2分

令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

－

此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，

＋

—

,
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
　 当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．