高考导数专题复习.doc

高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有.(10)若对、 ，恒成立，则.若对，使得,则. 若对，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 1 xx+ sinxx (0x) lnxx0)一、 有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；【答案】（）跟踪练习：1、【2011高考新课标1，理21】已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。2、(2013课标全国，理21)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.3、 (2014课标全国，理21)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求；【解析】：() 函数的定义域为，由题意可得()，故 6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】 已知函数. （1）试讨论的单调性；【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减练习：1、已知函数.当时，讨论的单调性；答案：，令当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.2、已知为实数，函数，函数，令函数当时，求函数的单调区间解：函数，定义域为当时，令，得 9分当，即时，当时，函数的单调减区间为，11分 当时，解得 ， 令，得，；令，得 13分 当时，函数的单调减区间为，；函数单调增区间为 15分 当，即时，由（2）知，函数的单调减区间为及2、 根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【解析】（1）由已知，函数的定义域为，所以.当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.练习： 已知函数，（1）求函数的单调区间；解：函数的定义域为 令，得，记 （）当时，所以单调减区间为； 5分 （）当时，由得， 若，则，由，得，；由，得 所以，的单调减区间为，单调增区间为； 7分若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； 若，则， 由，得；由，得 的单调减区间为，单调增区间为 9分综上所述：当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为； 当时，单调减区间为，单调增区间为 10分2. 已知函数求函数的单调区间；解：函数的定义域为， 1分（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 3、 含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数.（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围解：（1）若a=1, 则 当时, ,， 所以在上单调增, . 2分 （2）由于， （）当时，则， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时， 所以在上单调减，在上单调增.4分（）当时，当时， , 令，得（舍），若，即, 则，所以在上单调增；若，即, 则当时，；当时，所以在区间上是单调减，在上单调增. 6分当时, ,令，得，记，若，即, 则，故在上单调减；若，即, 则由得，且，当时，；当时，；当 时，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 8分综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是；当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是；当时, 单调递减区间是(0, )和，单调的递增区间是和. 10分（3）函数的定义域为 由，得 *（）当时，不等式*恒成立，所以；（）当时，所以； 12分（）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立令，则因为，所以，从而因为恒成立等价于，所以令，则再令，则在上恒成立，在上无最大值综上所述，满足条件的的取值范围是 16分2设为实数，函数（2）求函数的单调区间4、 分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数，其中.(I)讨论的单调性；【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析. (2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.5、 已知单调区间求参数范围例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.解：（1），的判别式=36（1-a）.（i）若a1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a0，故当a1时，有两个根：，若0a0，x0时, ，所以当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）当 时， 当时， ， 所以，函数在上单调递增无极值；当 时， 设方程的两根为 因为 所以， 由可得：所以，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；因此函数有两个极值点（3）当 时，由可得：当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；因此函数有一个极值点综上：当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；例题：【2015高考安徽，理21】设函数. （）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；【解析】（），. ，. 因为，所以. 当时，函数单调递增，无极值. 当时，函数单调递减，无极值. 当，在内存在唯一的，使得. 时，函数单调递减；时，函数单调递增. 因此，时，函数在处有极小值.（二） 已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷（理）】 设函数（为常数，是自然对数的底数）（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。练习：1、【2014年天津卷（理）】2、（2014湖南）（本小题满分13分）已知常数，函数. （）讨论在区间上的单调性；（）若存在两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（）,（*）因为,所以当时,当时,此时，函数在单调递增,当时, （舍去），当时，；当时，.故在区间单调递减,在单调递增的.综上所述当时,此时，函数在单调递增,当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. （）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且，所以，解得，此时，（*）式知,分别是的极小值点和极大值点，而 令，由且知当时, 当时,记 （）当时，所以因此，在上单调递减，从而，故当时，（）当时，所以因此，在上单调递减，从而，故当时， 综上所述，满足条件的的取值范围是为.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. （三）最值