北京市海淀区北方交大附中2024-2025学年高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

北京市海淀区北方交大附中2024-2025学年高一下数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )
A． B． C． D．
4．在三棱锥中，平面，，，点M为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．直线在轴上的截距为( )
A． B． C． D．
6．已知集合，集合为整数集，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知变量，满足约束条件则取最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．棱长为2的正方体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．从总数为的一批零件中抽取一个容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角的对边分别为，若，则角________.
12．从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为_____.
13．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：

甲
乙
丙
平均数
250
240
240
方差
15
15
20
根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．
14．已知的圆心角所对的弧长等于，则该圆的半径为______.
15．在中，角所对的边分别为，，则____
16．已知函数，有以下结论：
①若，则；
②在区间上是增函数；
③的图象与图象关于轴对称；
④设函数，当时，．
其中正确的结论为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
18．已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程;
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
19．如图，在平面四边形中，，,,,．

（1）求的长；
（2）求的长．
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求内角B的大小；
（2）设，，的最大值为5，求k的值.
21．若, 且, 求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】
令，得，
，令，
则，所以，，
构造函数，其中，由于，
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点，
因此，实数的取值范围是，故选D．
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．
2、C
【解析】
利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.
【详解】
当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.
本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
3、B
【解析】
分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解
详解：的最小正周期是

是偶函数
，
当时，，
则
故选
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
4、C
【解析】
求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.
【详解】
取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为，，所以，则的面积为，解得，所以.因为，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.
此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．
5、A
【解析】
取计算得到答案.
【详解】
直线在轴上的截距：
取
故答案选A
本题考查了直线的截距，属于简单题.
6、A
【解析】
试题分析：，选A.
【考点定位】集合的基本运算.
7、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，当，即点，
化目标函数为，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故选：C．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
8、C
【解析】
根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.
【详解】
因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，
所以直径，
内切球的体积为，
故选：C.
本题主要考查正方体的内切球的体积，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.
9、A
【解析】
由样本容量、总容量以及个体入样可能性三者之间的关系，列等式求出的值.
【详解】
由题意可得，解得，故选A.
本题考查抽样概念的理解，了解样本容量、总体容量以及个体入样可能性三者之间的关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
首先确定题中，，的取值范围，再根据大小排序即可.
【详解】
由题知，，
，
，
所以排序得到.
故选：D.
本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据得，利用余弦定理即可得解.
【详解】
由题：，，，
由余弦定理可得：，
.
故答案为：
此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.
12、
【解析】
由题意，基本事件总数为3×3＝9，其中满足直线y＝kx＋b不经过第三象限的，即满足有k＝－1，b＝1或k＝－1，b＝2两种，故所求的概率为.
13、乙 ；
【解析】
一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．
【详解】
乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、
故答案为乙．
本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．
14、
【解析】
先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解．
【详解】
解：圆心角，
弧长为，
，
即该圆的半径长．
故答案为：．
本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．
15、
【解析】
利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.
【详解】

由正弦定理可得：
即：

本题正确结果：
本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.
16、②③④
【解析】
首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.
【详解】

①当时，函数的周期为，
，或 ，所以①不正确；
②时，，所以是增函数，②正确；
③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；
④，当时，
，

，④正确
故选②③④
本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2)
【解析】
（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为，再利用，可知，最后化简求值；
（2）利用余弦定理可求得，代入求面积.
【详解】
（1）由已知以及余弦定理得：
所以
,

（2）由题知，

本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视的变形使用.
18、（1）（2）
【解析】
(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；
（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.
【详解】
（1）

令得，
所以的对称轴为
（2）当时，，，
因为，即恒成立
故，解得
在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.
19、 (1)；(2)
【解析】
（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.
（2）在中，计算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.
【详解】
（1）在中，,则,又
由正弦定理，得
（2）在中，,则，又
即是等腰三角形，得.
由余弦定理，得
所以.
在中,
由余弦定理，得
所以.
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
20、（1）,（2）
【解析】
解：(1)

（3分）
又在中，，所以，则………（5分）
(2),
. ………………（8分）
又，所以，所以.
所以当时，的最大值为. ………（10分）
………（12分）
21、
【解析】
本题首先可根据以及诱导公式得出，然后根据以及同角三角函数关系计算出，最后根据即可得出结果．
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以解得，．
本题考查同角三角函数关系的应用，考查的公式有、以及，考查计算能力，是简单题．