广东省广州市育才中学2025届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

广东省广州市育才中学2025届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．在某次测量中得到样本数据如下：，若样本数据恰好是样本每个数都增加得到，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数
3．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )

A． B． C． D．
6．将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为( )．
A．25 B．576 C．624 D．625
10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f（x）＝2cos（x）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____．
12．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.
13．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．
14．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______

15．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______
16．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的公比，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前项和，对任意正整数不等式恒成立，求 的取值范围.
18．设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
19．已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）求函数在区间上的零点；
（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.
20．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
21．设函数，定义域为．
（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；
（2）求关于的方程的解集．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由可得，结合可得结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2、C
【解析】
分别计算出、两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。
【详解】
样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，
样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。
本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。
3、D
【解析】
古典概率公式得到答案.
【详解】
抽到的出场序号小于4的概率：
故答案选D
本题考查了概率的计算，属于简单题.
4、B
【解析】
先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.

本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题.
5、D
【解析】
求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.
【详解】
设等边三角形的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积为，则，，
莱洛三角形面积为，则,
在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,
,故本题选D.
本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.
6、A
【解析】
根据三角函数的图象的平移变换得到所求．
【详解】
由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；
故选：A．
本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．
7、C
【解析】
通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.
【详解】
选项：若，，则，可知错误；
选项：若，，则，可知错误；
选项：
又 ，可知正确；
选项：当时，，可知错误.
本题正确选项：
本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.
8、C
【解析】
不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
.
故选C.
考点：一元二次不等式；根与系数关系.
9、C
【解析】
an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.
10、C
【解析】
根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.
【详解】
由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球
底面正方形对角线长为：
外接球半径
外接球体积
本题正确选项：
本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ﹣3
【解析】
利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，求得结论．
【详解】
解：对于函数，令，求得，
根据余弦函数的值域可得函数的最小值为，
故答案为：；．
本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，属于基础题．
12、
【解析】
若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：

则两直线的交点应在线段上（不包含点）, 当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为
∴直线的倾斜角的取值范围是．
故答案为
13、1
【解析】
设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.
14、
【解析】
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长l与底面半径R之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
【详解】
如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R

若圆锥的侧面展开图为半圆
则2πR＝πl，
即l＝2R，
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是．
故答案为．
本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．
15、－1
【解析】
分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．
【详解】
若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），
偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；
若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，
奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
∴a1+a2+a3+…+a1 ＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）
1．
故答案为：1．
本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．
16、
【解析】

如图，取中点，中点，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)
【解析】
（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案；
（2）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案.
【详解】
（1）因为，所以.
又因为，所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，，
所以.
所以对任意正整数恒成立.
设，易知单调递增.
当为奇数时，的最小值为，所以，解得；
当为偶数时，的最小值为，所以.
综上，，即的取值范围是.
本题考查了求等比数列的通项公式，考查了错位相减法求和，考查了数列的单调性，考查了不等式恒成立，属于中档题.
18、（1）函数递增区间为，（2）
【解析】
（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间即可．
（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合图像即可．
【详解】
解：（1）
由，
则函数递增区间为，
（2）由，得
则
则，即值域为
本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中等题．
19、（1），单调递增区间为；
（2）、、；（3）.
【解析】
（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；
（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；
（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.
【详解】
（1）由题意可知，，.
令，即，
即函数的图象的对称轴方程为.
由于函数图象的一条对称轴方程为，，
，，，则，因此，.
函数的单调递增区间为；
（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.
再将所得函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数.
令，即，化简得，
得或.
由于，当时，；当时，或.
因此，函数在上的零点为、、；
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
此时，.
所以，.
当时，函数单调递减，；
当时，函数单调递增，此时；
当时，，当时，.
综上所述：.
本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
20、（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以

由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以

所以
不等式得证.
本题考查了数列递推公式的应用，由定义证明等差数列，换元法及放缩法在证明不等式中的应用，属于中档题.
21、（1）最小正周期为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由
，解出的范围得出函数的单调递减区间；
（2）由，得出，解出该方程可得出结果.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）令，得，
或，
解得或，
因此，关于的方程的解集为.
本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.