资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．反比例函数的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程有实数根，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数，当时，该函数取最大值8.设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
6．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个相等的实根 B．有两个不等的实根 C．只有一个实根 D．无实数根
7．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值
8．若关于x的函数y=（3-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围( )
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
9．点是反比例函数的图象上的一点，则（ ）
A． B．12 C． D．1
10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是
A．24 B．24或 C．48或 D．
11．如图，、分别切⊙于、，，⊙半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（ ）
A．连接BD，可知BD是△ABC的中线 B．连接AE，可知AE是△ABC的高线
C．连接DE，可知 D．连接DE，可知S△CDE：S△ABC＝DE：AB
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．
14．有一块三角板，为直角，，将它放置在中，如图，点、在圆上，边经过圆心，劣弧的度数等于_______
15．如图，两个同心圆，大圆半径，，则图中阴影部分的面积是__________．
16．如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为_____．
17．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是_____．
18．点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．
20．（8分）某果品专卖店元旦前后至春节期间主要销售薄壳核桃，采购价为15元/kg，元旦前售价是20元/kg，每天可卖出450kg．市场调查反映：如调整单价，每涨价1元，每天要少卖出50kg；每降价1元，每天可多卖出150kg．
（1）若专卖店元旦期间每天获得毛利2400元，可以怎样定价？若调整价格也兼顾顾客利益，应如何确定售价？
（2）请你帮店主算一算，春节期间如何确定售价每天获得毛利最大，并求出最大毛利．
21．（8分）如图，在中，是上的高．．
求证：．
22．（10分）某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：
数量/条
平均每条鱼的质量/kg
第1次捕捞
20
1.6
第2次捕捞
15
2.0
第3次捕捞
15
1.8
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
23．（10分）如图，抛物线过点，，直线交抛物线于点，点的横坐标为，点是线段上的动点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）过点的直线垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长度与的关系式，为何值时，最长？
（3）是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（10分）函数的图象的对称轴为直线.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象．
①直接写出函数图象的表达式；
②设直线与轴交于点A，与y轴交于点B,当线段AB与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
25．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．
26．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】试题分析：∵k=2＞0，∴反比例函数的图象在第一，三象限内，故选A．
考点：反比例函数的性质．
2、D
【解析】试题分析：当k＜0时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；当k＞0时，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限．故选D．
考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象．
3、D
【分析】根据△=b2-4ac≥0，一元二次方程有实数根，列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴
解得：．
故选：D．
本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
4、B
【分析】利用函数与x轴的交点，求出横坐标，根据开口方向、以及列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】∵二次函数，当时，该函数取最大值8
∴，
当y=0时，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：B
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
5、B
【分析】根据题意知，，代入数据，即可求解．
【详解】由题意知：一元二次方程x2+2x+k＝1有两个不相等的实数根，
∴
解得
∴．
∴k的最大整数是1．
故选B．
本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．
6、D
【分析】先求出的值，再进行判断即可得出答案．
【详解】解：一元二次方程x2+2020=0中，
=0-4×1×2020＜0，
故原方程无实数根．
故选：D．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．
7、C
【详解】由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
8、B
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．
【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，
3-a≠0，则a≠3，故选B
本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
9、A
【解析】将点代入即可得出k的值．
【详解】解：将点代入得，，解得k=-12，
故选：A．
本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式．
10、B
【分析】由，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】∵，
∴(x−6)(x−10)=0，
解得：x1=6,x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD是高，
∴BD=4,AD=，
∴S△ABC= BC⋅AD=×8×2=8；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°，
S△ABC=BC⋅AC=×8×6=24.
∴该三角形的面积是：24或8.
故选B.
此题考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
11、C
【分析】连接PO、AO、BO，由角平分线的判定定理得，PO平分∠APB，则∠APO=30°，得到PO=4，由勾股定理，即可求出PA.
【详解】解：连接PO、AO、BO，如图：
∵、分别切⊙于、，
∴，，AO=BO，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO==30°，
∵AO=2，∠PAO=90°，
∴PO=2AO=4，
由勾股定理，则
；
故选：C.
本题考查了圆的切线的性质，角平分线的判定定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，得到∠APO=30°.
12、B
【分析】根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：A、连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD是△ABC的高，故本选项不符合题意．
B、连接AE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE是△ABC的高，故本选项符合题意．
C、连接DE．可证△CDE∽△CBA，可得，故本选项不符合题意．
D、∵△CDE∽△CBA，可得S△CDE：S△ABC＝DE2：AB2，故本选项不符合题意，
故选：B．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，辅助线的作图是解本题的关键
二、填空题（每题4分，共24分）
13、cm
【解析】试题分析：因为OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：
10π=，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
因为E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．
考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
14、1°
【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．
【详解】如图，连接OA，
∵OA，OB为半径，
∴，
∴，
∴劣弧的度数等于，
故答案为：1．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
15、
【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于半径为4cm，圆心角为60°的扇形面积.
【详解】∵，，
∴阴影部分的面积为扇形OBC的面积：，
故答案为：.
本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.
16、5π
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行计算．
【详解】解：设CB＝x，则AB＝2x，
根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52，
解得：x＝，
∴底面圆的半径为，
∴圆锥的侧面积＝××2π×5＝5π．
故答案为：5π．
本题考查圆锥的面积，熟练掌握圆锥的面积公式及计算法则是解题关键.
17、19.2m
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．
【详解】设教学楼高度为xm，
列方程得：
解得x＝19.2，
故教学楼的高度为19.2m．
故答案为：19.2m．
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
18、（2，﹣1）．
【解析】关于原点对称的两个坐标点，其对应横纵坐标互为相反数.
【详解】解：由题意得m=2，n-2=-n，解得n=1，故A点坐标为（2，﹣1）．
本题考查了关于原点中心对称的两个坐标点的特点.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝1，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝1．
【详解】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝1，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝1，
∴弦EF的长为1．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、（1）21，19；（2）售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元
【分析】（1）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况列出一元二次方程确定售价即可；
（2）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况设每天的毛利为w元，涨价和降价两种情况列出二次函数求出售价进行比较即可确定售价和最大毛利．
【详解】解：（1）根据题意，得
①设售价涨价x元，
（20﹣15+x）（450﹣50x）＝2400
解得x1＝1，x2＝3，
∵调整价格也兼顾顾客利益，
∴x＝1，则售价为21元；
②设售价降价y元，
（20﹣15﹣y）（450+150y）＝2400
解得y1＝y2＝1，
则售价为19元；
答：调整价格也兼顾顾客利益，售价应定为19元．
（2）根据题意，得
①设售价涨价x元时，每天的毛利为w1元，
w1＝（20﹣15+x）（450﹣50x）
＝﹣50x2+200x+2250
＝﹣50（x﹣2）2+1．
当售价涨价2元，即售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元；
②设售价降价y元时，每天的毛利为w2元，
w2＝（20﹣15﹣y）（450+150y）
＝﹣150y2+300y+2250
＝﹣150（y﹣1）2+2400
当降价为1元时，即售价为19元时，毛利最大，最大毛利为2400元．
综上所述，售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，解决本题的关键是找到题目中蕴含的等量关系，熟练掌握二次函数的性质，能够将一般式转化为顶点式.
21、证明见解析．
【分析】根据三角形的定义表示出及，根据即可证明.
【详解】是上的高，，
，
在和中，
，，
且，
，
．
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.
22、（1）1.78kg；（2）1kg；（3）y＝14x，0≤x≤1．
【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；
（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；
（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．
【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为（kg）．
（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，
∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝1（kg）．
（3）∵每千克的售价为14元，
∴所求函数表达式为y＝14x，
∵该种鱼的总质量约为1kg，
∴估计自变量x的取值范围为0≤x≤1．
本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．
23、（1），；（2）当时，线段的长度有最大值，最大值为；（3）存在，，，
【分析】（1）由题意，利用待定系数法，先求出二次函数的解析式，然后再求出直线AD的解析式；
（2）根据题意，先得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；
（3）根据题意，由为等腰三角形，可分为三种情况进行分析：BP=BD或BP=DP或BD=DP，分别求出点P的坐标，然后求出点Q的坐标即可．
【详解】解：（1）将，代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入点，，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵在线段上，
∴，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
即，
∴当时，线段的长度有最大值，最大值为；
（3）存在；
理由如下：根据题意，则
∵为等腰三角形，
∴可分为三种情况进行讨论：
①当BP=BD时，此时点P恰好是线段AD与y轴的交点，如图：
∵，，
又∵点P为（0，）
∴BD=，BP=，
∴BP=BD，
∴点Q与点C重合，
在，令x=0，则y=；
∴点Q为（0，）；
②当BP=DP，作PE⊥BD于点E，
∴点E为（，），
∵直线BD的斜率为：，
∴直线PE的斜率为：，
∴直线PE的解析式为：；
联合直线PE与直线AD，则有
，解得：，
∴点P的坐标为（，），
∴点Q的坐标为：；
③当BD=DP，则设点P为（m，m1），
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P为（，），
∴点Q的坐标为：；
综合上述，有，，．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质等知识，应用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
24、（1）m=3；（2）①；②.
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得关于m的方程，解方程即可求出结果；
（2）①根据抛物线的平移规律解答即可；
②根据二次函数的性质以及一次函数的性质，结合图象只要满足直线与y轴的交点的纵坐标大于抛物线与y轴交点的纵坐标解答即可.
【详解】解：（1）∵的对称轴为直线，∴，解得：m=3；
（2）①∵函数的表达式为y=x2－2x+1，即为，
∴图象向右平移2个单位得到的新的函数图象的表达式为；
②∵直线y＝﹣2x+2t（t＞m）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（t，0），B（0，2t），
∵新的函数图象G的顶点为（3，0），与y的交点为（0，9），
∴当线段AB与图象G只有一个公共点时，如图，2t＞9，解得t＞，
故t的取值范围是t＞．
本题考查了二次函数的图象及性质、抛物线的平移以及一次函数与二次函数的交点涉及的参数问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的数学思想是解题关键
25、（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．
【分析】（1）在中由求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B的坐标；
（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，从而可得二次函数的解析式；
（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，由此易得△DFE∽OBE，这样设点D的坐标为，点F的坐标为,结合相似三角形的性质和DE：OE=3:4，即可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点D的坐标；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB，则BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）在中，由可得：，解得：；
由可得：，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）；
（2）把点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（3）①过点D作x轴的垂线交AB于点F，
设点D，F,
连接DO交AB于点E，△DFE∽OBE，
因为DE：OE=3：4，
所以FD：BO=3：4，
即：FD=BO= ,
所以,
解之得： m1=-1，m2=-3 ，
∴D的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，
∴∠BAH=2∠BAC，
若∠DBA=2∠BAC，则∠DBA=∠BAH，
∴AH//DB，
由点A的坐标（-4，0）和点H的坐标（0，2）求得直线AH的解析式为：，
∴直线DB的解析式是：,
将：联立可得方程组：，
解得： ，
∴点D的坐标（-2，-3）．
本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，从而构造出△DFE∽OBE，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D的坐标；解第3小题的关键是在x轴的上方作OH=OB，连接AH，从而构造出∠BAH=2∠BAC，这样由∠DBA=∠BAH可得AH∥BD，求出AH的解析式即可得到BD的解析式，从而将问题转化成求BD和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．
26、（1）；（2）.
【分析】（1）利用路程=平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机必须在5个小时之内回到甲地，列出不等式进而得出速度最小值．
【详解】（1）由题意得，两地路程为，
∴汽车的速度与时间的函数关系为；
（2）由，得，
又由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：返程时的平均速度不能小于1．
本题主要考查了反比例函数的应用，根据路程=平均速度×时间得出函数关系是解题关键．
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