资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A．a2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4
C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b2
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
5．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)
7．一元二次方程的根是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．-1或3
8．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
9．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）
A．50cm B．50cm C．100cm D．80cm
10．下列函数中,是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（3，-2） B．（2，3） C．（-2，3） D．（2，-3）
12．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2（x﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+1）2+4 B．y＝2（x﹣1）2+4
C．y＝2（x+2）2+4 D．y＝2（x﹣3）2+4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．把二次函数变形为的形式，则__________．
14．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________．
15．将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的解析式为_____．
16．反比例函数()的图象经过点A，B（1,y1），C（3,y1），则y1_______y1．（填“<,=,>”）
17．若关于的一元二次方程没有实数根．化简：=____________．
18．一支反比例函数，若，则y的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．
20．（8分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②‒①得9x=7，解得，于是得．
同理可得，
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
（基础训练）
（1） ， ；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
（能力提升）
（3） ， ；(注：，2.01818…)
（探索发现）
（4）①试比较与1的大小： 1；(填“＞”、“＜”或“=”)
②若已知，则 ．(注：0.285714285714…)
21．（8分）如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.
（1）求证：
（2）求证：
22．（10分）江华瑶族自治县香草源景区2016年旅游收入500万元，由于政府的重视和开发，近两年旅游收入逐年递增，到今年2018年收入已达720万元．
（1）求这两年香草源旅游收入的年平均增长率．
（2）如果香草源旅游景区的收入一直保持这样的平均年增长率，从2018年算起，请直接写出n年后的收入表达式．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CH⊥AB于H，∠CAB＝30°.
(1)如图1，求证：AH＝3BH.
(2)如图2，点D为AB下方⊙O上一点，点E为AD上一点，若∠BOE＝∠CAD，连接BD，求证：OE＝BD．
(3)如图3，在(2)的条件下，连接CE，若CE⊥AD，OA＝14，求BD的长.
24．（10分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：
（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
（3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．
25．（12分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
26．解方程
（1）7x2－49x＝0； （2）x2－2x－1＝0.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】用因式分解法求解即可得到结论．
【详解】∵x2﹣3x=0，
∴x(x﹣3)=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：，．
故选：B．
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．
2、A
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．
【详解】解：A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误．
故选：A．
本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
3、B
【分析】根据折叠的性质得到，于是得到，求得是直角三角形；设AB=x，则AD=2x，由相似三角形的性质可得CP=x，可求BP=PG=x=PN，可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得∠PMF=∠FPM，可证PF=FM；由，且∠G=∠D=90°，可证△PEG∽△CMD，则可求解．
【详解】∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC=∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP=∠EMP，
∵∠AMD=180°，
∴∠PME+∠CME=×180°=90°，
∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；
∵AD=2AB，
∴设AB=x，则AD=BC=2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴AM=DM=AD=x=BN=NC，
∴CMx，
∵∠PMC=90°=∠CNM，∠MCP=∠MCN，
∴△MCN∽△NCP，
∴CM2=CN•CP，
∴3x2=x×CP，
∴CP=x，
∴
∴AB=BP，故②符合题意；
∵PN=CP﹣CN=x-x =x，
∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴BP=PG=x，
∴PN=PG，故③符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠AMP=∠MPC，
∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴∠AMP=∠PMF，
∴∠PMF=∠FPM，
∴PF=FM，故④不符合题意，
如图，
∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴AB=GE=x，BP=PG=x，∠B=∠G=90°
∴，
∵，
∴，且∠G=∠D=90°，
∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，
综上：①②③⑤符合题意，共4个，
故选：B．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
4、B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
5、B
【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，
∴＝1，△AEI∽△QDI，
∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，
∵AD＝10，
∴△AEI中AE边上的高＝2，
∴△AEI的面积＝×3×2＝3，
∵△ABF的面积＝×5×6＝15，
∵AD∥BC，
∴△BFH∽△DAH，
∴＝＝，
∴△BFH的面积＝×2×5＝5，
∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝1．
故选：B．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
6、C
【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，0），
故选C．
7、D
【解析】利用因式分解法求解即可得．
【详解】
故选：D．
本题考查了利用因式分解法求解一元二次方程，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
8、D
【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
9、A
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【详解】解：如图，
过点O作于点C，边接AO，
，
在中，，
，
解，得AO=50
故选：A
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10、B
【分析】根据是的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.
【详解】A、是正比例函数,故本选项不符合题意．
B、是的反比例函数,故本选项符合题意；
C、不是的反比例函数,故本选项不符合题意；
D、是正比例函数,故本选项不符合题意；
故选：B．
本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式(k≠0的常数)，是解题的关键.
11、C
【解析】略
12、A
【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．
【详解】解：原抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
所以，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2+4，
故选：A．
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.
【详解】,
∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.
故答案为:-7.
本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.
14、8或1．
【解析】试题分析：如图1所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；
如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=1；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或1，故答案为8或1．
考点：解直角三角形；分类讨论．
15、y＝x2﹣1．
【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.
【详解】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，
∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，
∵将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位得到新的抛物线，
∴新抛物线的顶点为(0，-1)，
∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，
故答案为：y=x 2 -1．
本题考查了抛物线的平移，得到原抛物线与新抛物线的顶点坐标是解题的关键.
16、>
【分析】根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限内，再比较即可．
【详解】解：由图象经过点A，可知，反比例函数图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小，由此可知y1>y1.
本题考查反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
17、
【分析】首先根据关于x的一元二次方程没有实数根求出a的取值范围，然后利用二次根式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得，
当时，
原式
，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式及二次根式的基本性质，解题的关键是根据根的判别式确定未知数的取值范围．
18、y＜-1
【分析】根据函数解析式可知当x＞0时，y随x的增大而增大，求出当x=1时对应的y值即可求出y的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数，
-4＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y=-1，
∴当，则y的取值范围是y＜-1，
故答案为：y＜-1．
本题考查了根据反比例函数自变量的取值范围，确定函数值的取值范围，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．
三、解答题（共78分）
19、43 m.
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
【详解】解 由题意可得△AEC∽△ADB，
则＝，
故＝，
解得DB＝43，
答：小雁塔的高度为43 m.
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AEC∽△ADB是解题的关键．
20、（1），；（2），推导过程见解析；（3），；（4）①；②．
【分析】（1）根据阅读材料的方法即可得；
（2）参照阅读材料的方法，设，从而可得，由此即可得；
（3）参照阅读材料方法，设，从而可得，由此即可得；先将拆分为2与的之和，再参照阅读材料的方法即可得；
（4）①先参照阅读材料的方法将写成分数的形式，再比较大小即可得；
②先求出，再根据①的结论可得，然后根据即可得．
【详解】（1）设①，
则②，
②①得：，解得，
即，
设①，
则②，
②①得：，解得，
即，
故答案为：，；
（2）设①，
则②，
②①得：，解得，
即；
（3）设①，
则②，
②①得：，解得，
即；
，
设①，
则②，
②①得：，解得，
则，
故答案为：，；
（4）①设②，
则③，
③②得：，解得，
即，
故答案为：；
②因为，，
所以，
所以，
故答案为：．
本题考查了有理数的大小比较、等式的性质、解一元一次方程，读懂阅读材料的方法并灵活运用是解题关键．
21、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质可得AM=AN，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，∵，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，
∴CD•AM=BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF是∠DFE的平分线，
∴∠DFA=∠AFE．
∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，
∴∠DFB=∠DAG=60°，
∴∠GFE=120°，
∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．
∵∠DFB=60°，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，
∴∠K=∠DFA=60°．
∵∠ADB=60°，
∴∠KDB=∠FDA．
在△DBK和△DAF中，
∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，
∴△DBK≌△DAF，
∴BK=AF．
∵DF=DK=FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF，
∴CD=AF+BF+CF．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、（1）这两年香草源旅游收入的年平均增长率为20﹪；（2）
【分析】（1）根据题意设这两年香草源旅游收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）由题意根据求出的增长率，以2018年收入为初始年求出n年后该县旅游收入即可．
【详解】解：（1）设这两年香草源旅游收入的年平均增长率为x ，依题意得，
解得=20﹪；（舍去）．
答.这两年香草源旅游收入的年平均增长率为20﹪．
（2）由香草源旅游景区的收入一直保持这样的平均年增长率以及2018年收入为720万元可得，
香草源旅游景区n年后的收入为：=．
答：n年后的收入表达式是.
本题考查一元二次方程的实际应用，弄清题意并根据题意找到等量关系列方程求解是解答本题的关键．
23、 (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BD=2.
【分析】(1)连接BC，根据直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，可得：AB＝2BC，BC＝2 BH，可得结论；
(2)由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，得OA＝BC，利用ASA证明△OAE≌△BCD，可得结论；
(3) 过O作OM⊥AD于M，先证明∠OEA＝∠BAC＝30°，设OM＝x，则ME＝x，由△OAE≌△BCD，则∠DCE＝30°，设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，根据AE＝2DE列等式得：y＝3x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得：BD＝2OM＝2.
【详解】(1)证明：如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH，
∴AB＝4BH，
∴AH＝3BH，
(2)证明：连接BC、DC，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠BOE＝∠CAD，
∴∠BOE+∠CBD＝180°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠AOE＝∠CBD，
∵∠OAE，∠BCD是弧BD所对的圆周角
∴∠OAE＝∠BCD，
由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，
∴OA＝BC，
∴△OAE≌△BCD，
∴OE＝BD；
(3)解：过O作OM⊥AD于M，
∴AM＝MD，
∵AO＝OB，
∴BD＝2OM，
∵∠BOE＝∠CAD，∠BOE＝∠BAE+∠OEA，
∠CAD＝∠BAE+∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC＝30°，
设OM＝x，则ME＝x，
由(2)得：△OAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵∠ADC，∠ABC是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝2DE，AE＝CD，
∴AE＝2DE，
设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，
∴y+x＝2(y﹣x)，
y＝3x，
在Rt△OAM中，OA＝14，AM＝3x，OM＝x，
OM2+AM2＝OA2，
，
解得：x1＝，x2＝﹣(舍)，
∴OM＝，
∴BD＝2OM＝2.
本题主要考查圆的性质和三角形的性质的综合问题，添加合适的辅助线，综合应用直角三角形的性质和圆周角定理，垂径定理和圆内接四边形的性质，是解题的关键.
24、 (1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3) BE=2或或或.
【解析】整体分析：
(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.
解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.
(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝.
由“准菱形”的定义有四种情况：
①如图1，当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2.
②如图2，当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝.
③如图3，当BF＝DF＝时，延长FE交AB于点H，则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°.
∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝BH.
设EH＝BH＝x，则FH＝x＋1，BE＝x.
∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，
∴x2＋(x＋1)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
④如图4，当BF＝AB＝2时，与③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.
设EH＝BH＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
综上所述，BE=2或或或.
25、（1）60°；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=1，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=1．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=2．
∵∠BOC=120°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
26、（1）x1＝0,x2＝7；（2），
【解析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可.
【详解】（1）∵7x2－49x＝0，
∴x2－7x＝0，
∴.
解得x1＝0，x2＝7
（2）移项,得,
配方,得,
开平方,得
.
解得，
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
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