资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣1＝0中，当m取什么范围内的值时，方程有两个不相等的实数根？（ ）
A．m＞ B．m＞且m≠1 C．m＜ D．m≠1
2．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点 B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像经过点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
6．如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“治”相对的面上的汉字是（ ）
A．全 B．面 C．依 D．法
7．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ）
A． B． C．2倍 D．3倍
8．如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
10．反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为_____．
12．如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 ▲ （结果保留）．
13．比较大小：_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）
14．方程x2=2的解是 ．
15．点A，B都在反比例函数图象上，则_____．（填写<，>，=号）
16．二次函数y＝4(x﹣3)2+7的图象的顶点坐标是_____．
17．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为_____；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．
18．如图，点M是反比例函数（）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（6分）如图，为的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点
（1）求证：是的切线
（2）若，，求的长
21．（6分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
22．（8分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面积；
（2）求tan∠DBC的值．
23．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0
（2）计算：
24．（8分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
25．（10分）已知，如图1，在中，，，，若为的中点，交与点.
（1）求的长.
（2）如图2，点为射线上一动点，连接，线段绕点顺时针旋转交直线与点.
①若时，求的长：
②如图3，连接交直线与点，当为等腰三角形时，求的长.
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；
（3）若抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由题意可知原方程的根的判别式△>0，由此可得关于m的不等式，求出不等式的解集后再结合方程的二次项系数不为0即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＞0，解得：∴m＞，
∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的范围是：m＞且m≠1．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法等知识，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
2、B
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，
观察只有B选项符合，
故选B．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
3、D
【解析】试题分析：根据反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大．可由k=-2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
故选D．
考点：反比例函数图象的性质
4、B
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
5、B
【解析】∵抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），
∴ ，解得： ，
∴.
故选B.
6、C
【分析】首先将展开图折叠，即可得出与汉字“治”相对的面上的汉字.
【详解】由题意，得与汉字“治”相对的面上的汉字是“依”，
故答案为C.
此题主要考查对正方体展开图的认识，熟练掌握，即可解题.
7、A
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．
【详解】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
由题意得,AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴= =，
∴像CD的长是物体AB长的.
故答案选：A.
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
8、B
【解析】试题分析：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=220°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴=tan60°=，则=3，∵点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，∴=AD•DO=×6=3，∴k=EC×EO=2，则EC×EO=2．故选B．
考点：2．反比例函数图象上点的坐标特征；2．综合题．
9、B
【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
10、A
【解析】试题分析：因为y=的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k-1＜0，k＜1．
故选A．
考点：反比例函数的性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【分析】把点（2，1）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+3，即可求出m的值.
【详解】∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），
∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式.
12、．
【解析】如图，先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可：
∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°．
∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影．
13、＞．
【解析】先求出1=，再比较即可．
【详解】∵12=9＜10，
∴＞1，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
14、±
【解析】试题分析：根据二次根式的性质或一元二次方程的直接开平方法解方程即可求得x=±．
考点：一元二次方程的解法
15、＜．
【分析】根据反比例函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：中，-3＜0
∴在每一象限内，y随x的增大而增大
∵-2＜-1＜0
∴＜
故答案为：＜．
本题考查了比较反比例函数值的大小，掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系是解题的关键．
16、（3，7）
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【详解】∵y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为（3，7）．
17、2． -1
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．
【详解】解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18、1
【解析】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2，则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n，则△ABC的面积=mn=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
三、解答题(共66分)
19、 (1)；(2)3；(3).
【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.
【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）6
【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，只要连接OE，再证OE⊥CD即可．
（2）由勾股定理求得AB的长即可．
【详解】证明：（1）如图，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∵AE平分∠CAD，
∴∠OAE=∠DAE．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．
∵DE⊥AD，
∴OE⊥DE．
∵OE为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径是r，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°．
由勾股定理得：OE 2 +CE 2 =OC 2 ，
即 ，解得r=3，
即AB的长是6
本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理，作出辅助线是本题的关键．
21、OC＝100米；PB＝米．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°的三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．
本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22、（1）60；（2）．
【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）方法一：作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，与BD交点为E，则E是三角形的重心，再根据三角形重心的性质求出EH，∠DBC的正切值即可求出．
方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F，先根据勾股定理求出AH的长，再根据三角形中位线定理求出DF的长，BF的长就等于BC的，∠DBC的正切值即可求出．
【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝=12，
∴△ABC的面积＝；
（2）方法一：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝=12
∵BD是AC边上的中线
所以点E是△ABC的重心
∴EH＝＝4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC＝＝．
方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝CH=5
在Rt△ABH中，AH＝=12
∵AH⊥BC、DF⊥BC
∴AH∥DF，D为AC中点，
∴DF＝AH＝6，
∴BF＝
∴在Rt△DBF中，tan∠DBC＝＝．
本题主要考查解直角三角形，掌握勾股定理及锐角三角函数的定义是解题的关键.
23、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）1
【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；
(2)原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】(1)方程整理得：x2﹣4x=3，
配方得：x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
(2)
=1．
本题考查了利用配方法求一元二次方程的解以及实数的混合运算，涉及了：零指数、二次根式以及特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及特殊角的锐角三角函数的值．
24、（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
＝，
乙的方差是：
＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．
25、（1）；（2）①，； ②，.
【分析】（1）先利用相似三角形性质求得∽，并利用相似比即可求的长；
（2）①由题意分点在线段上，点在射线上，利用相似三角形性质进行分析求值；
②利用三角函数以及等腰三角形性质综合进行分析讨论.
【详解】解：（1）∵，，
∴∽
∴
∵，
∴
∴
（2）①（）点在线段上
∵，
∴为的中点
∵为的中点
∴
∵，
∴
∴是的中位线
∴
（）点在射线上
∵为的中点，
∴
由（1）可得∽
∴，
∴
∵，
∴
∴∽
∴
∴
综上所述：的长为，
②由上问可得，∽
∴
∵
∴
∵，
∴
∴∽
为等腰三角形，则为等腰三角形.
（）时
在延长线上，不符合题意，舍去
（）
（），
则点与点重合
综上所述：的长为，
本题考查几何图形的综合问题，熟练利用相似三角形相关性质以及结合等腰三角形和三角函数进行分析讨论.
26、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点G的坐标为（，）；（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣6）．
【分析】（1）由点A的坐标及OA=OC=4OB,可得出点B,C的坐标, 根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴, 由AO的长度结合平行四边形的性质可得出点G的横坐标, 再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标;
（3）设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,结合点A,C的坐标可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°两种情况, 利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论．
【详解】解:（1）∵点A的坐标是（4,0）,
∴OA=4,
又∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴点C的坐标为（0,4）,点B的坐标为（﹣1,0）.
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,
将A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,
得,解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∵如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点H也在抛物线上,
∴GH∥AO,GH=AO=4,
∵点G,H都在抛物线上,
∴G,H关于直线x=对称,
∴点G的横坐标为,
∵当x=时,y=﹣x2+3x+4=,
∴点G的坐标为（,）．
（3）假设存在,设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,
∵点A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,4）,
∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,
CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32,
分两种情况考虑,如图2所示,
①当∠ACP=90°时,AP2=CP2+AC2,
即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0,
解得:m1=0（舍去）,m2=2,
∴点P的坐标为（2,6）;
整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）,
∴点P的坐标为（-2,-6）．
综上所述,假设成立,抛物线上存在点P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以为直角边的直角三角形．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、二次函数的性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质和平行四边形的性质.
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