资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点D
C．点M D．点N
2．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
3．下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣ B．y＝（x﹣3）2﹣x2
C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣1
4．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤ B．c≤ C．c≥ D．c≥
5．若角都是锐角，以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
6．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
7．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
8．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
9．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若锐角满足，则__________．
12．已知△ABC，D、E分别在AC、BC边上，且DE∥AB，CD＝2，DA＝3，△CDE面积是4，则△ABC的面积是______
13．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是_____．
14．在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球______个
15．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为_______________．
16．如图，直线与双曲线（k≠0）相交于A（﹣1，）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为_________.
17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．
18．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G，
（1）求证：FE=AE；
（2）填空：=__________
（3）若，求的值(用含k的代数式表示)．
20．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2=0；
（2）（x﹣1）（x﹣3）=1．
21．（6分）（1）计算：．
（2）用适当方法解方程：
（3）用配方法解方程：
22．（8分）如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．
23．（8分）如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．
（特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；
（探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；
（拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．
24．（8分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）为何值时，？
（2）设四边形的面积为，试求出与之间的关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）当为何值时，？
25．（10分）已知二次函数的图像是经过、两点的一条抛物线.
（1）求这个函数的表达式，并在方格纸中画出它的大致图像；
（2）点为抛物线上一点，若的面积为，求出此时点的坐标.
26．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故选A．
考点：位似变换．
2、D
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；
选：D．
此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．
3、D
【分析】由二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案．
【详解】解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；
B．整理后得到，是一次函数，故B错误
C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；
D．是二次函数的顶点式解析式，故D正确．
故选：D．
本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
4、A
【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c的取值范围．
【详解】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
解得：c≤，
故选：A．
本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
5、C
【分析】根据锐角范围内 、 、 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
【详解】①∵随 的增大而增大，正确；
②∵随 的增大而减小，错误；
③∵随 的增大而增大，正确；
④若，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得，正确；
综上所述，①③④正确
故答案为：C．
本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．
6、A
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一个根，
∴11-3×1+k=0，
解得，k=1．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7、B
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
8、D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
9、A
【解析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
【详解】由题意，设y＝，
由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y＝.
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝.
故选：A.
本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10、A
【解析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．
【详解】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故选A．
考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由∠A为锐角，且，
∠A=60°，
故答案为：60°．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12、25
【分析】根据DE∥AB得到△CDE∽△CAB，再由CD和DA的长度得到相似比，从而确定△ABC的面积.
【详解】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CD＝2，DA＝3，
∴，
又∵△CDE面积是4，
∴，
即，
∴△ABC的面积为25.
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
13、y=．
【详解】解：设矩形OABC的两边分别为,b则+b=10，2+b2=68
∵(+b) 2=2+b2+2
∴2=(+b)2- (2+b2)=32
∴=16
∴反比例函数的解析式是
本题考查①矩形、正方形面积公式； ②完全平方公式；③反比例函数面积有关的问题．此种试题，相对复杂，需要学生掌握矩形、正方形面积公式，并利用完全平方公式和反比例函数相关的问题．
14、1
【解析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是，口袋中有12个红球，
设有x个白球，
则，
解得：，
答：袋中大约有白球1个．
故答案为：1．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
15、10%.
【分析】1016年的水果产量=1014年的水果产量×（1+年平均增长率）1，把相关数值代入即可．
【详解】根据题意，得 100（1+x）1=144，
解这个方程，得x1=0.1，x1=-1.1．
经检验x1=-1.1不符合题意，舍去．
故答案为10%．
此题考查列一元二次方程；得到1016年水果产量的等量关系是解决本题的关键．
16、（0，）．
【解析】试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
17、1
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
18、1
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.21，将A（0，1.21）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.21
∵点A（0，1.21）在抛物线上
∴1.21＝a（0﹣1）2+2.21
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.21
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.21
解得：x＝2.1或x＝﹣0.1（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.1，0）
∴OB＝OC＝2.1
∴CB＝1
故答案为：1．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由得，由∠AGH=∠ECH=90°可得∠DAC=∠BEF，由轴对称的性质得到∠DAC=∠EAC，从而可得∠BEF=∠EAC，利用三角形外角的性质得到，即可得到结论成立；
（2）过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，先证明，得到BF=AM，再利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质得到，DE=2CE=2AN，即可得到答案；
（3）先利用相似三角形的判定证明，得到，从而得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵垂足为点，
，
∵，
，
∵，
，
∵，
，
在和中，，，，
，
，
∵，，
，
；
（2）如图，过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵EM⊥BE，
∴∠M=∠B=45°，
由（1）已证：，
，即，
在和中，，
∴，
∴BF=AM，
∵AN⊥ME，∠M=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴AN=MN，AM=，
易知四边形ACEN是矩形，
∴CE=AN=MN，
∵DE=2CE=2AN，
∴，
故答案为：；
（3）∵，，
，
∵，
由（1）知，
，
由（1）知，
，
，
设，，则，，，，
，
，
∵，，
，
．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，以及等角对等边等性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题，注意角度之间的相互转换．
20、（1）x1=+1，x2=﹣+1；（2）x1=5，x2=﹣1
【分析】(1)用配方法解方程；
(2)先化简为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程.
【详解】解：⑴x2－2x＋1＝3，
(x－1)2＝3，
x－1＝±，
，；
⑵x2－x－3x＋3＝1
x2－4x－5＝0
(x－5)(x＋1)＝0
x1＝5，x2＝－1
本题考查用配方法和因式分解法解一元二次方程．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①移项，将方程的右边化为0；②化积，把方程左边因式分解，化成两个一次因式的积；③转化，令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程；④求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
21、（1）3;(2) x1=,x2=；(3) x1＝1+，x2＝1−．
【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂和绝对值的意义逐项化简，再合并同类二次根式或同类项即可；
（2）用直接开平方法求解即可；
（3）先把-3移项，再把二次项系数化为1，两边都加1，把左边写成完全平方的形式，两边同时开平方即可.
【详解】解：（1）原式=4×-2 +1+2 =3；
（2）（2x-5）2= ，
2x-5=± ，
所以x1=,x2= ；
(3) 解：∵2x2-4x-3=0，
∴2x2-4x=3，
∴x2−2x＝，
∴x2−2x+1＝+1，
∴(x−1)2＝，
∴x-1=±，
∴x1＝1+，x2＝1−．
本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握二次方程的解法是解答本题的关键.
22、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先根据是等腰直角三角形，和点P的坐标求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求得；
（2）设点，如图（见解析），过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，易证明，可得，则点C坐标为，将其代入题（1）中的抛物线函数关系式即可得；
（3）如图，延长NM交CH于点E，则，先通过点B、C求出直线BC的函数关系式，因点N在抛物线上，则设，则可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）是等腰直角三角形，，点P坐标为
则点A的坐标为
将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得：
，解得：
故抛物线的函数关系式为：；
（2）设点，过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，
又
故点C的坐标为
将点C的坐标代入题（1）的抛物线函数关系式得：
，解得：
故点B的坐标为；
（3）如图，延长NM交CH于点E，则
设直线BC的解析式为：，将点，点代入得：
解得：
则直线BC的解析式为：
因点N在抛物线上，设，则点M的坐标为
的面积
即
整理得：
又因点M是线段BC上一点，则
由二次函数的性质得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故当时，取得最大值.
本题是一道较好的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形全等的判定定理与性质、二次函数图象的性质，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题关键.
23、 (1)见解析； (2) 当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证明见解析；(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形. 证明见解析．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明得出，从而证明四边形是菱形；
（2）证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，通过证明，，，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
证法二：如图，过点G作GH⊥BC于H，通过证明OD=OC=OG=OF，GF=CD，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
（3） 当∠GBC=120°时，点E与点A重合，通过证明，CD=GF，，从而证明四边形是矩形．
【详解】(1) ，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
四边形是菱形．
(2) 当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．
证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，
，，
，
，
，
，.
，，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在Rt△BGK中，，解得，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
证法二：如图
∵，，
.
又，
，
，.
过点G作GH⊥BC于H，
在Rt△BHG中，
∵，
∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，
∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，
∴GC=，
∴OG=OC===2，
∴OD=OF=4-2=2，
∴OD=OC=OG=OF，
四边形是矩形，
∵GF=CD，
四边形是正方形．
(3) 当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.
当∠GBC=120°时，点E与点A重合.
，
∴，
.
∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形，
∴，，AB=CD，AB=GF，
∴，CD=GF，
四边形是平行四边形.
∵，
四边形是矩形．
本题考查了几何的综合应用题，掌握矩形和正方形的性质以及判定、勾股定理、全等三角形的判定是解题的关键．
24、（1）当t=时，DE⊥AC；（2） ；（3）当t=时， ；(4)t=时，=
【分析】（1）若DE⊥AC，则∠EDA=90°，易证△ADE∽△ABC，进而列出关于t的比例式，即可求解；
（2）由△CDF∽△CAB，得CF=，BF=8﹣，进而用割补法得到与之间的关系式，进而即可得到答案；
（3）根据，列出关于t的方程，即可求解；
（4）过点E作EM⊥AC于点M，易证△AEM∽△ACB，从而得EM=，AM=，进而得DM=，根据当DM=ME时，=，列出关于t的方程，即可求解．
【详解】（1）∵∠B=，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴AC=10cm，
若DE⊥AC，则∠EDA=90°，
∴∠EDA=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴t=，
答：当t=时，DE⊥AC；
（2）∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC =∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAB，
∴, 即，
∴CF=，
∴BF=8﹣，
∴；
（3）若存在某一时刻t，使得，
根据题意得：，
解得：，
答：当t=时，；
（4）过点E作EM⊥AC于点M，则△AEM∽△ACB
∴=，
∴，
∴EM=，AM=，
∴DM=10-2t-=，
在Rt△DEM中，当DM=ME时，=，
∴，解得：t=
即：当t=时，=．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理综合，通过相似三角形的性质，用代数式表示相关线段，进而列出方程，是解题的关键．
25、（1），图画见解析；（2）或.
【分析】（1）利用交点式直接写出函数的表达式，再用五点法作出函数的图象；
（2）先求得AB的长，再利用三角形面积法求得点P的纵坐标，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知：.
.
∵顶点坐标为：
-1
0
1
2
3
0
3
4
3
0
描点、连线作图如下：
（2）设点P的纵坐标为,
，
∴.
∴或，
将代入，
得：，此时方程无解.
将代入，
得：，解得：；
或.
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式以及利用三角形面积法求点的坐标的应用，求函数图象上的点的坐标的问题一般要转化为求线段的长的问题．
26、（1）；（2）4
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
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