资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点，为直线上的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线（）于、两点.若，则的值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．4
2．二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是
A． B． C． D．
3．如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）米.
A． B． C． D．
4．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
5．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
6．如果、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象关于y轴对称
C．图象位于第二、四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
8．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
9．把两条宽度都为的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，小江同学把三角尺含有角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
12．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集_______________．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上， CD与⊙O相切于点D，若∠CDA=122°，则∠C=_______．
14． “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．
15．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝_____．
16．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=__．
17．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
18．如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为_______cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ＝时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
20．（6分）如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
22．（8分）如图，直线和反比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，连接．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）直线经过点吗？请说明理由；
（3）当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时，请直接写出的值．
23．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
24．（8分）在菱形中，，延长至点，延长至点，使，连结，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
25．（10分）如图，为的直径，直线于点.点在上，分别连接，，且的延长线交于点，为的切线交于点.
（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长.
26．（10分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【详解】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b．
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线(x＞0)上，则CE，DF，
∴BD=BF﹣DF=b，AC=a．
又∵BD=2AC，
∴b2(a)，
两边平方得：b22=4(a22)，即b24(a2)﹣1．
在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2，同理OD2=b2，
∴4OC2﹣OD2=4(a2)﹣(b2)=1．
故选：C．
本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．
2、C
【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣1＝ ，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误，
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，故③正确，
∵x＝﹣1时，y＞0，x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴(a﹣b+c) (a+b+c)＜0
∴，
∴，故④错误，
∵x＝﹣1时，y取得最大值a﹣b+c，
∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，
∴x（ax+b）≤a﹣b，故⑤正确．
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3、C
【分析】根据余弦定义：即可解答．
【详解】解：，
，
米，
米；
故选C．
此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．
4、D
【分析】根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和相似三角形的判定方法即可判定.
【详解】解：两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；
故选：D．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质以及相似三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.
5、B
【解析】试题分析：根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．
A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；
C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；
D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；
故选B．
考点：本题考查的是模拟实验的条件
点评：解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性．
6、B
【解析】先求得函数的两根，再将两根带入后面的式子即可得出答案.
【详解】由韦达定理可得α+β=-3，又=3--=）=1+3=4，所以答案选择B项.
本题考察了二次方程的求根以及根的意义和根与系数的关系，根据得到的等量关系是解决本题的关键.
7、D
【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
8、B
【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故选：B．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
9、A
【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵=sinα，
∴BC=AB=，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=．
故选：A．
本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．
10、B
【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.
【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，
∵孔洞的最长边为
∴S==
故选B.
此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、8
【解析】试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点.
12、或；
【分析】由题意可知关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．
【详解】解：关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，观察图象的交点坐标可得：或.
本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．
13、26°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠ODA=32°，再利用等腰三角形的性质得∠A=32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=32°，
∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°．
故答案为：．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
14、
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=米,再根据tan∠BAD= = ,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果.
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，
∵AD⊥BC, ∠DAC=45°，
∴AD=CD=AE=米,
在Rt△ABD中，
tan∠BAD= =，
∴BD=AD = =23(米)
∴BC=BD+CD= (米)
故答案为.
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
15、1．
【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．
【详解】∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴＝＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝1．
故答案为：1．
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
16、1或4或2.1．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【详解】设DP=x，则CP=1-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当△PAD∽△PBC时，=
∴，解得：x=2.1；
②、当△APD∽△PBC时，=，即=，
解得：x=1或x=4，
综上所述DP=1或4或2.1
【点晴】
本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位.
17、－6
【解析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴A（﹣3，2）.
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，解得k=－6.
【详解】
请在此输入详解！
18、
【分析】根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．
【详解】解： ∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．
根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm．
∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm．
∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°．
∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：（cm）．
故答案为：．
三、解答题(共66分)
19、（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（2）经过点D的双曲线（k≠0）的k值不变，为．
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t的取值范围）；
（2）将PQ=代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，求得点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
【详解】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4-t，2），
∴PE=2，EQ=|4-t-t|=|4-t|，
∴PQ2=PE2+EQ2=22+|4-t|2=t2-20t+21，
∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝t2−20t+21(0≤t≤4)；
故答案为：y＝t2−20t+21(0≤t≤4)．
（2）当PQ＝时，t2−20t+21＝()2
整理，得1t2-16t+12=0，
解得：t1=2，t2＝．
（2）经过点D的双曲线y＝ (k≠0)的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC=2，BC=4，
∴OB＝＝1．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴ ，
∴OD=2．
∵CB∥OA，
∴∠DOF=∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝ ，cos∠OBC＝＝，
∴OF＝OD•cos∠OBC＝2×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝2×＝，
∴点D的坐标为(，)，
∴经过点D的双曲线y＝(k≠0)的k值为×＝．．
此题考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（2）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．
20、（1）见解析；（1）1
【分析】（1）由AC是⊙O的切线，得OA⊥AC，结合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，进而得到结论；
（1）利用勾股定理求出OC，即可解决问题．
【详解】（1）∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（1）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝1．
本题主要考查圆的基本性质，掌握切线的基本性质，是解题的关键.
21、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-1．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．
【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣1）＝4k2﹣12k+11＝（2k﹣1）2+4，
∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣1＝0的两个根，得
∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣1，
又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得
b2+c2＝a2，
∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣1）＝11，
整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝1，
当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣1＜0，不符合题意，舍去，当k＝1时，b+c＝2×1+1＝7，符合题意，故k＝1．
此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键
22、（1）；（2）直线经过点，理由见解析；（1）的值为或．
【分析】（1）依据直线l1：y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P（2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l1和反比例函数的表达式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为，依据当时，y=-2×+5=4，可得直线l1经过点Q；
（1）根据OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M，Q分别作x轴，y轴的垂线，设点M的坐标为(a，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标，从而求出k的值．
【详解】解：（1）∵直线和反比例函数的图象都经过点，
．
∴直线l1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为；
（2）直线经过点，理由如下.点在反比例函数的图象上，
．
点的坐标为．
当时，．
直线经过点；
（1）的值为或．理由如下：
OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：
①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，
如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，
图①
∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（，4），
∴AE=a-，PE=2-a，
∵ME∥BC,QM:PM=1:2，
∴AE:PE=1:2，
∴2-a=2(a-)，解得a=1，
同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，
可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=1．
所以点M的坐标为（1，1），代入y=kx可得k=1；
②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，
图②
同理可得点M的坐标为（，2），代入y=kx可得k=.
故k的值为1或．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式．解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，同时需要注意分类讨论思想的应用．
23、（1）；（2）存在，当的周长最小时，点的坐标为．
【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.
【详解】（1）抛物线与轴交于两点
解得：
该抛物线的解析式为
（2）该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小．
如解图所示，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，
交对称轴于点，连接，
点关于抛物线对称轴的对称点，且，交对称轴于点
，
的周长为，
为抛物线对称轴上一点，
的周长，
当点处在解图位置时，的周长最小．
在中，当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，且．
设过点两点的直线的解析式为：，
在直线上，
，解得：，
直线的解析式为：，
抛物线对称轴为直线，且直线与抛物线对称轴交于点，
在中，当时，，
，
在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，当的周长最小时，点的坐标为
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，能正确理解题意是解题关键．
24、（1）见详解；（2）60°
【分析】(1)先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BF，然后利用“边角边”证明即可；
(2)由△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．
【详解】（1）证明：∵菱形，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键
25、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据切线的性质得，由切线长定理可证，从而，然后根据等角的余角相等得到，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角是），
∴，
∴，
∵是的直径，于点，
∴是的切线（经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线），
∵是的切线，
∴（切线长定理），
∴，
∵，，
∴，∴，
∵.
（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，
根据勾股定理求得，
在和中
，
∴（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形得判定与性质，余角的性质，以及三角形的中位线等知识.熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形得判定与性质是解答本题的关键．
26、．
【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
即，
∴AB＝．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握有两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的三边对应成比例是关键．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
