资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( )
A．y=2(x﹣1)2﹣2 B．y=2(x+1)2﹣2
C．y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D．y=﹣2(x+1)2﹣2
2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．刻舟求剑 C．拔苗助长 D．守株待兔
4．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A．2 B．12 C．18 D．24
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根
6．如图，的直径，弦于．若，则的长是( )
A． B． C． D．
7．的相反数是（ ）
A． B． C．2019 D．-2019
8．如图，用尺规作图作的平分线，第一步是以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；第二步是分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两圆弧交于点，连接，那么为所作，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5， AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则ADC的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
11．圆锥的底面半径是，母线为，则它的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
12．sin60°的值是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知关于x的方程x2+x+m=0的一个根是2，则m=_____，另一根为_____．
14．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m＝__．
15．正方形的边长为，点是正方形的中心，将此正方形沿直线滚动（无滑动），且每一次滚动的角度都等于90°.例如：点不动，滚动正方形，当点上方相邻的点落在直线上时为第1次滚动.如果将正方形滚动2020次，那么点经过的路程等于__________．（结果不取近似值）
16．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是_________．
17．把多项式分解因式的结果是__________．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为1．
（1）画出的外接圆，并直接写出的半径是多少．
（2）连结，在网络中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上．
20．（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”. 如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为点，像这样的三角形均为“中垂三角形. 设.
（1）如图1，当时，则_________，__________；
（2）如图2，当时，则_________，__________；
归纳证明
（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（4）如图4，在中，分别是的中点，且. 若，，求的长.
21．（8分）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品,规定销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)请直接写出y关于x之间的关系式 ；
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润=总销售额一总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断:当x取何值时,P的值最大？最大值是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元,求销售单价x(元)的取值范围是 .(可借助二次函数的图象直接写出答案)
22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（- 3，4），点B的坐标为(6，n).
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB 的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形. 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，已知一个，其中，点分别是边上的点，连结，且．
（1）求证：；
（2）若求的面积．
24．（10分）先化简，再求值：，其中﹣2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．
25．（12分）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园，要求把位于图中点处的一颗景观树圈在花园内，且景观树与篱笆的距离不小2米．已知点到墙体、的距离分别是8米、16米，如果、所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积的最大值．
26．如图，双曲线（＞0）与直线交于点A（2，4）和B（a，2），连接OA和OB．
（1）求双曲线和直线关系式；
（2）观察图像直接写出：当＞时，的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】抛物线y=1x1绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．
【详解】解：∵把抛物线y=1x1绕原点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y=﹣1x1，
∵再向右平移1个单位，向下平移1个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣1(x﹣1)1﹣1．
故选：C．
本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．
2、B
【分析】根据方程有两个不等的实数根，故△＞0，得不等式解答即可.
【详解】试题分析：由已知得△＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
此题考查了一元二次方程根的判别式.
3、D
【分析】根据事件发生的可能性大小,逐一判断选项，即可．
【详解】A、旭日东升是必然事件；
B、刻舟求剑是不可能事件；
C、拔苗助长是不可能事件；
D、守株待兔是随机事件；
故选：D．
本题主要考查随机事件的概念，掌握随机事件的定义，是解题的关键.
4、C
【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.
【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)
则红球的个数为:24－6=18(个)
故选C.
此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.
5、C
【分析】判断一元二次方程根的判别式的大小即可得解.
【详解】由题意可可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
故选：C．
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
6、C
【分析】先根据线段的比例、直径求出OC、OP的长，再利用勾股定理求出CP的长，然后根据垂径定理即可得．
【详解】如图，连接OC
直径
在中，
弦于
故选：C．
本题考查了勾股定理、垂径定理等知识点，属于基础题型，掌握垂径定理是解题关键．
7、A
【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：的相反数是：．
故选A．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
8、A
【分析】根据作图步骤进行分析即可解答；
【详解】解：∵第一步是以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点
∴AE=AF
∵二步是分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两圆弧交于点，连接，
∴CE=DE,AD=AD
∴根据SSS可以判定△AFD≌△AED
∴（全等三角形，对应角相等）
故答案为A.
本题考查的是用尺规作图做角平分线，明确作图步骤的依据是解答本题的关键.
9、D
【分析】根据题意得出AB∥DE，得△CED∽△CAB，利用对应边成比例求CD长度，再根据等腰直角三角形求出底边上的高，利用面积公式计算即可.
【详解】解：如图，过A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AD⊥AB,
∴∠BAD =90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD= ,
∵AF⊥BD,
∴AF= .
∵AD⊥AB，DE⊥AD,
∴∠BAD=∠ADE=90°,
∴AB∥DE，
∴∠CDE=∠B, ∠CED=∠CAB,
∴△CDE∽△CBA,
∴ ,
∴,
∴CD= ,
∴S△ADC= .
故选：D
本题考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例求线段长是解答此题的关键.
10、D
【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D. “用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，
故选：D.
此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.
11、A
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长计算．
【详解】圆锥的侧面面积＝×6×5＝15cm1．
故选：A．
本题考查圆锥的侧面积＝底面周长×母线长，解题的关键是熟知公式的运用.
12、C
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】sin60°=，
故选C.
本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、；.
【解析】先把x=2代入方程，易求k，再把所求k的值代入方程，可得，再利用根与系数的关系，可求出方程的另一个解：
解：把x=2代入方程，得.
再把代入方程，得.
设次方程的另一个根是a，则
2a=-6，
解得a=-3.
考点：1.一元二次方程的解；2.根与系数的关系．
14、1
【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，
解得m＝1，
经检验m＝1是原分式方程的根，
故答案为1．
本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．
15、
【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论．
【详解】解：如下图所示，
∵正方形的边长为
∴AB=AD，BO=
∴BD=cm
∴BO=cm
∵每一次滚动的角度都等于90°
∴每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°为圆心角，半径为cm的弧长
∴点经过的路程为=
故答案为：．
此题考查的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键．
16、
【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．
【详解】∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，
设菱形对角线交于点O，
∴，
∴，，
∴，，
顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=A A1=AB =5，C1D1 =AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=AB=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5×，C3D3=C1D1=5，
A5D5=5，C5D5=C3D3=5，
∴四边形A2019B2019C2019D2019的周长是：
故答案为：
本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．
17、
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式化简即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了多项式的因式分解问题，掌握完全平方公式的性质是解题的关键．
18、
【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
三、解答题（共78分）
19、（1）作图见解析，半径为；（2）作图见解析
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O的位置，在网格中应用勾股定理即可求得半径；
（2）只能是或，直接利用网格作图即可．
【详解】解：（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O，如图：
，
根据勾股定理可得半径为；
（2）当是直角三角形时，且点在上，
只能是或，利用网格作图如下：
．
本题考查尺规作图、确定圆的条件，掌握三角形外接圆圆心是三边线段垂直平分线的交点是解题的关键．
20、（1） ，；（2），；（3），证明见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形的中位线得出；，进而得到计算即可得出答案；
（2）连接EF，中位线的性质以及求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF的长度即可得出答案；
（3）连接EF，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和FP的关系，即可得出答案；
（4）取的中点，连接，结合题目求出四边形是平行四边形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接，交于点，证明求得是的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).
【详解】解：（1）∵是的中线，∴是的中位线，
∴，且，易得.
∵，
∴，∴.
由勾股定理，得，
∴.
（2）如图2，连结.
∵是的中线，
∴是的中位线，
∴，且，易得.
. ∵，
∴，
∴.
由勾股定理，得，
∴.
（3）之间的关系是.
证明如下：如图3，连结.
∵是的中线，
∴是的中位线.
∴，且，
易得.
在和中，
∵，，
∴.
∴.
∴，
即.
（4）解法1：设的交点为. 如图4，取的中点，连接.
∵分别是的中点，是的中点，
∴.
又∵，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是“中垂三角形”，
∴，即，
解得.
（另：连接，交于点，易得是“中垂三角形”，解法类似于解法1，如图5）
解法2：如图6，连接，延长交的延长线于点.
在中，∵分别是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵四边形为平行四边形，
∴，
易得，
∴，
∴，
∴是的中线，
∴是“中垂三角形”，
∴.
∵，
∴.
∴，
解得.
∵是的中位线，
∴.
本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第四问方法一得出是解决本题的关键.
21、 (1)y=-x+100；(2)-x2+150x-5000(50≤x≤70)，x=70时p最大为600；(3)60≤x≤70.
【分析】（1）采用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由题意，每件的利润为元，再根据总利润=单件利润×销量，即可得出关系式，x的取值范围可由题目条件得到，再求二次函数对称轴和最值即可;
（3）利用二次函数图像性质可得出x的取值范围.
【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点（60，40）和（70，30）,代入y=kx+b得，
，解得，
∴y关于x之间的关系式为.
（2）由题意得：
，
∵销售单价不低于成本价,又不高于每件70元
∴x的取值范围为
故P与x之间的函数关系式为.
∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P最大=.
（3）当P=400时，，
解得：，，
∵，抛物线开口向下，
∴当P≥400时，60≤x≤90，
又∵x的取值范围为
∴利润低于400元时,求销售单价x的取值范围为.
本题考查了二次函数应用中的营销问题，关键是根据总利润公式得到二次函数关系式，再根据二次函数的性质解决最值问题.
22、（1）反比例函数的解析式为y=﹣ ； 一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）；（3）存在，满足条件的P点坐标为（﹣3，0）、（﹣，0）．
【解析】（1）先把代入得到的值，从而确定反比例函数的解析式为；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为，然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为
即可求得.
（3）过A点作轴于，交x轴于，则点的坐标为；再证明利用相似比计算出则，所以点的坐标为，于是得到满足条件的P点坐标．
【详解】将代入，得
∴反比例函数的解析式为；
将代入，得
解得
将和分别代入得，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为
（2）当时，解得：
（3）存在．
过A点作轴于，交x轴于，如图，
点坐标为
点的坐标为
而
即
点的坐标为
∴满足条件的点坐标为
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据AA即可证明；
（2）根据解直角三角形的方法求出AF,EF，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解:，
，
，
，
.
由得:.
在中，，
.
，
.
．
此题主要考查相似三角形的判定与解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与是三角函数的应用．
24、，1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝，
∵﹣2≤a≤2，且a为整数，
∴a＝0，1，﹣2时没有意义，a＝﹣1或2，
当a＝﹣1时，原式＝﹣2；当a＝2时，原式＝1．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、216米2
【分析】设AB=x米，可知BC=（30-x）米， 根据点到墙体、的距离分别是8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出关于x的函数关系式即可得出结论．
【详解】解：设矩形花园的宽为米，则长为米
由题意知，
解得
即
显然，时的值随的增大而增大
所以，当时，面积取最大值
答： 符合要求的矩形花园面积的最大值是216米2
此题主要考查二次函数的应用，关键是正确理解题意，列出S与x的函数关系式解题的关键．
26、（1），；（2）0＜x＜2 或x＞4 ；（3）△AOB的面积是1．
【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，继而求得点B坐标，再结合A、B坐标利用待定系数法即可求出直线解析式；
（2）根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案；
（3）过点A作y轴的垂线，垂足为D，过点B作x轴的垂线，垂足为E，两线交于点F，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案．
【详解】（1）∵ 点A（2,4）在双曲线上
∴
∵ 点B（a，2）也在双曲线，
∴，
∴ a=4（经检验a=4是方程的解），
∵ 点A（2,4）和点B(4，2）在直线上 ，
∴ ，解得：，
∴直线关系式为；
（2）观察图象可得，当 ＞时，x的取值范围是：0＜x＜2 或x＞4 ；
（3）过点A作y轴的垂线，垂足为D，过点B作x轴的垂线，垂足为E，两线交于点F，则有OD=4，OE=4，
∴四边形CDFE是正方形，
∴△AOB的面积是：4×4-=1．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法，利用函数图象求不等式的解集，求三角形的面积等，正确把握相关知识是解题的关键．
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