资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知点都在反比例函数的图像上，那么（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
2．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3
3．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎 B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎 D．甲、乙、丙都说谎
5．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定
6．如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2
7．在 中，，，，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知两个相似三角形的相似比为2∶3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A．18平方厘米 B．8平方厘米 C．27平方厘米 D．平方厘米
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
10．一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的，若，则平移的距离是__________．
，
12．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数， 则这个两位数能被3整除的概率是__________．
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是_____________．
14．如图，四边形内接于，若，_______.
15．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．
17．如图，在反比例函数的图象上有点它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为则点的坐标为________，阴影部分的面积________．
18．反比例函数（）的图象如图所示，点为图象上的一点，过点作轴，轴，若四边形的面积为4，则的值为______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
21．（6分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率．
22．（8分）如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置
（1）若点坐标为时，求点的坐标；
（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；
（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
23．（8分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
24．（8分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
25．（10分）如图，中，． 以点为圆心，为半径作恰好经过点．
是否为的切线？请证明你的结论．
为割线，． 当时，求的长．
26．（10分）如图，为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点A的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由反比例函数的比例系数为正，那么图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m和n的大小关系．
【详解】解：∵点A（m，1）和B（n，3）在反比例函数（k＞0）的图象上，
1＜3，
∴m＞n．
故选：C．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k＞0，图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
2、A
【分析】利用顶点式求二次函数的解析式.
【详解】设二次函数y=a（x﹣1）1+2，
把（0，11）代入可求出a=-1．
故二次函数的解析式为y=﹣1（x﹣1）1+2．
故选A．
考点：待定系数法求二次函数解析式
3、A
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
4、B
【分析】分情况，依次推理可得．
【详解】解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
本题考查推理能力,关键在于假设法,推出矛盾是否即可判断对错.
5、B
【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S1的值即可进行比较．
【详解】由于A、B均在反比例函数的图象上，
且AC⊥x轴，BD⊥x轴，
则S1＝；
S1＝．
故S1＝S1．
故选：B．
此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的绝对值的一半即为三角形的面积．
6、C
【详解】解：由勾股定理计算出圆锥的母线长=，
圆锥漏斗的侧面积=．
故选C．
考点：圆锥的计算
7、A
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：sinA==．
故选A．
本题考查了锐角正弦函数的定义.
8、C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题
【详解】∵相似三角形面积比等于相似比的平方
故选C
本题考查相似三角形的性质，根据根据相似三角形面积比等于相似比的平方列出式子即可
9、D
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝60°，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，由直角三角形的性质可求BO＝OC＝2，即可求解．
【详解】解：∵cos∠ABC＝，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，
∴OC＝BC＝2，BO＝OC＝2，
∴BD＝2BO＝4，
故选：D
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知菱形的性质及解直角三角形的方法．
10、D
【分析】由根的判别式△判断即可.
【详解】解：△=b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根.
故选择D.
本题考查了一元二次方程根与判别式的关系.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】与相交于点，因为平移，
由此求出,从而求得
【详解】解：由沿方向平移得到
,
本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质.
12、
【分析】从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，得出组成的两位数总个数及能被3整除的数的个数，求概率．
【详解】∵从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，共有6种情况，它们分别是56、57、65、67、75、76，其中能被3整除的有57、75两种，
∴组成两位数能被3整除的概率为：
故答案为：
本题考查的是直接用概率公式求概率问题，找对符合条件的个数和总个数是关键．
13、（2，﹣1）
【详解】解：点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
14、
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴．
故答案为：．
主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理．
15、πa
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出的长=的长=的长=，那么勒洛三角形的周长为
【详解】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴的长=的长=的长=，
∴勒洛三角形的周长为
故答案为πa．
本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
16、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17、（2，10） 16
【分析】将点P1的横坐标2代入函数表达式即可求出点P1纵坐标，将右边三个矩形平移，如图所示，可得出所求阴影部分面积之和等于矩形ABCP1的面积，求出即可．
【详解】解：因为点P1的横坐标为2，代入，
得y=10，
∴点P1的坐标为（2，10），
将右边三个矩形平移，如图所示，
把x=10代入反比例函数解析式得：y=2，
∴由题意得：P1C=AB=10-2=8，
则S1+S2+S3+S4=S矩形ABCP1=2×8=16，
故答案为：（2，10），16.
此题考查了反比例函数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
18、4
【分析】根据反比例函数的性质得出，再结合图象即可得出答案.
【详解】表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积
反比例函数（）的图象在第一象限
故答案为：4.
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数中，的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积.
三、解答题(共66分)
19、（1）； （2） 当t=2时，MN的最大值是4.
【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴交点坐标，进而代入二次函数解析式得出b，c的值即可；
（2）根据作垂直x轴的直线x=t，得出M，N的坐标，进而根据坐标性质得出即可．
【详解】解：（1）（1）∵一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0,y=2代入代入y=-x2+bx+c得c=2
将x=4,y=0 代入代入y=-x2+bx+c，
（2））∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
由题意易得
从而得到
当时，MN有最大值为：
在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．
20、（1）C（m，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x3﹣3mx+m3﹣1＝（x﹣m）3﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（3）把A（0，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝m3﹣1，
解得 m＝±3．
把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，
即m3﹣3m＝0，
解得m＝0 或m＝3．
结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
21、．
【解析】试题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为5情况数，即可确定小军胜的概率．
试题解析：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字的和为5的情况有4种，所以小军获胜的概率==．
考点：列表法与树状图法．
22、（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）过点作轴于点，利用三角函数值可得出，再根据翻折的性质可得出，，再解，得出，，最后结合点C的坐标即可得出答案；
（2）设点坐标为（），则点的坐标是，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D的坐标为，再结合反比例函数求解即可；
（3）首先存在这样的k值，分和两种情况讨论分析即可．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于点
∵，
∴
∴
由题意可知，.
∴.
∴
在中，，
∴，.
∵点坐标为，
∴.
∴点的坐标是
（2）设点坐标为（），则点的坐标是，
由（1）可知：点的坐标是
∵点和点在同一个反比例函数的图象上，
∴.解得.
∴点坐标为
（3）存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形
解：①当时.
如图所示，连接，，，与相交于点.
则，，.
∴∽
∴
∴
又∵，
∴∽.
∴，，
∴.
∴，
设（），则，
∵，在同一反比例函数图象上，
∴.解得：.
∴
∴
②当时.如图所示，连接，，，
∵，
∴.
在中，
∵，，
∴.
在中，
∵，
∴.
∴
设（），则
∵，在同一反比例函数图象上，
∴.
解得：，
∴
∴
本题是一道关于反比例函数的综合题目，具有一定的难度，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值，翻折的性质，相似三角形的判定定理以及性质，反比例函数的性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力．
23、（1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．
【解析】试题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，）代入y=ax2得：a=，
∴二次函数的解析式为y=x2；
（2）∵点P在抛物线y=x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=|x|，
∴Rt△BPF中，
PF==x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴x2+1=4，
解得：x=±2，
∴x2=×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
【考点】二次函数综合题．
24、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
25、（1）是的切线，理由详见解析；（2）
【分析】（1）根据题意连接，利用平行四边形的判定与性质进行分析证明即可；
（2）由题意作于，连接，根据平行四边形的性质以及勾股定理进行分析求解.
【详解】解：是的切线．理由如下．
连接，如下图，
是平行四边形，
是的切线
作于，连接 ，如上图，
由，
是平行四边形
本题考查平行四边形和圆相关，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及圆的相关性质是解题的关键.
26、米
【分析】如图（见解析），过点A作于点E，过B作于点F，设河宽为x米，则，在和中分别利用和建立x的等式，求解即可.
【详解】过点A作于点E，过B作于点F
设河宽为x米，则
依题意得
在中，，即
解得：
则
在中，，即
解得：（米）
答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为米.
本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.
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