资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（ ）.
A． B． C． D．
3．以下四个图形标志中，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．，，三点在同一直线上
D．
8．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45°
C．90° D．135°
9．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点为60°角与直尺交点，点为光盘与直尺唯一交点，若，则光盘的直径是（ ）．
A． B． C．6 D．3
10．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
11．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．的面积为2，边的长为，边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果，那么__________．
14．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
15．若是方程的一个根，则的值是________.
16．已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的度数为____________．
17．如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为_____．
18．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解下列方程
（1）；
（2）.
20．（8分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
21．（8分）解方程：
22．（10分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
23．（10分）化简
（1）
（2）
24．（10分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．
25．（12分）（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣1＝0
（2）用因式分解法解方程：（x﹣1）（x+3）＝12
26．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】从上面看得到的图形是A表示的图形，故选A．
2、C
【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．
【详解】∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.
故答案为C.
本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.
3、C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项逐一分析判断即可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、是中心对称图形，故本选项符合题意，
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选C．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、B
【解析】试题分析：A．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；
B．∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确．
C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误．
考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．
5、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵DE∥BC，∴，故本选项正确；
B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误．
故选：A．
本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．
6、A
【解析】要使方程为一元二次方程，则二次项系数不能为0，所以令二次项系数不为0即可．
【详解】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1，
故选：A．
本题主要考查的是一元二次方程的性质，二次项系数不为0，掌握这个知识点是解题的关键．
7、B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，A，O，A′三点在同一直线上，AC∥A′C′，
无法得到CO：CA′=1：2，
故选：B．
此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8、C
【分析】根据勾股定理求解.
【详解】设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2==16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
考点：勾股定理逆定理.
9、A
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接，由切线长定理得出、，根据可得答案．
【详解】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 ，
∴ ，
在中，
∴
∴光盘的直径为 ，
故选．
本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．
10、D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
11、C
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项符合题意；
D、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
12、A
【分析】根据三角形面积公式得出与的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．
【详解】根据题意得
∴
∵
∴与的变化规律用图象表示大致是
故答案为：A．
本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】∵，根据和比性质，得==，
故答案为.
14、等
【解析】根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．
【详解】解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，
例如：.
此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.
15、1
【分析】将代入方程，得到，进而得到，，然后代入求值即可.
【详解】解：由题意，将代入方程
∴，，
∴
故答案为：1
本题考查一元二次方程的解，及分式的化简，掌握方程的解的概念和平方差公式是本题的解题关键.
16、80°或100°
【解析】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，分类讨论可得解.
【详解】∵AB＝BC，∠ABC＝100°，
∴∠1＝∠2＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC.点D的位置有两种情况：
如图①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1＝∠CAD，
∴CE＝CF，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴∠ACE＝∠ACF.
在Rt△BCE与Rt△DCF中，，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∴∠BCD＝80°；
如图②，
∵AD′∥BC，AB＝CD′，
∴四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′＝∠ABC＝100°，
综上所述，∠BCD＝80°或100°，
故答案为80°或100°.
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．
17、（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）
【分析】根据已知⊙P的半径为4和⊙P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案．
【详解】解：当半径为4的⊙P与x轴相切时，
此时P点纵坐标为4或﹣4，
∴当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2，
∴此时P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），
当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝x2＝1，
∴此时P点坐标为：（1，﹣4）．
综上所述：P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
故答案为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
此题是二次函数综合和切线的性质的综合题，解答时通过数形结合以得到P点纵坐标是解题关键。
18、-1
【解析】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1．
三、解答题（共78分）
19、（1），；（2），．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先变形为（2x-1）2-（x-3）2=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1），
或，
所以，；
（2），
，
或，
所以，．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20、（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.
【详解】解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.
21、，
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：整理得
解得：，
本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握一元二次方程的几种常用解法是解题关键.
22、CD=5；（1）见解析；（2）
【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得 ，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．
【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE＝AD＝AE，
∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，
且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BDA＝∠DEF，
∴△ADB∽△DEF，
∴＝，
∵AB＝2，
∴DF＝4，
又∵∠CDE+∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠CDE，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
又∵DF＝4，CE＝，
∴，
∴CF＝1或CF＝5（舍去），
∴CD＝CF+4＝5；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，
∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，
∴AB＝AC，AD＝CD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EAD+∠EBD＝90°，
∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，
∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，
∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，
∴△DBE∽△ATD，
∴，∠ADT＝∠BED，
∴，且AD＝DC，
∴，
∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，
∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，
∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，
∴△ARE≌△ATD（ASA）
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，
∴∠BED＝∠AER，
∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，
∴RE＝RB＝DT，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT（AAS）
∴BR＝TC，
∴DT＝TC，
∴CD＝2DT，
∴＝
本题主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性质，作合适的辅助线对证明三角形相似起到关键作用.
23、（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案.
【详解】解：（1）
（2）
此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝1，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝1．
【详解】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝1，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝1，
∴弦EF的长为1．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25、（1）x＝；（2）x＝﹣5或x＝3
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案；
【详解】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝8+4＝12，
∴x＝；
（2）∵（x﹣1）（x+3）＝12，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣5或x＝3；
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
26、（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围；
（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时的取值范围．
【详解】（1）∵函数图象与轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，
∴方程的两个根为，；
（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，
∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．
（3）∵抛物线与直线相交于，两点，
由图象可知，抛物线在直线下方时的取值范围为：或．
本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
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