内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024年数学九上期末经典模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
448
720
900
估计出售2000件衬衣，其中次品大约是（ ）
A．50件 B．100件 C．150件 D．200件
2．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(　　)
A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)
3．如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
4． “割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）．

A．1 B．3 C．3.1 D．3.14
5．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．使得关于的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的整数的和是( )
A．-8 B．-10 C．-16 D．-18
7．如图，在平行四边形中：：若，则（ ）

A． B． C． D．
8．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为(　　)
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
9．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，直线分别交轴，轴于点A和点B,点C是反比例函数的图象上位于直线下方的一点，CD∥轴交AB于点D,CE∥轴交AB于点E,,则的值为______

12．如图，把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、．量得，，则该圆玻璃镜的半径是__________．

13．若，且，则的值是__________．
14．圆锥的底面半径是4cm，母线长是6cm，则圆锥的侧面积是______cm2（结果保留π）．
15．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．
17．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
x
...
－1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...
该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．
18．如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）在中，，，，点从出发沿方向在运动速度为3个单位/秒，点从出发向点运动，速度为1个单位/秒，、同时出发，点到点时两点同时停止运动．

（1）点在线段上运动，过作交边于，时，求的值；
（2）运动秒后，，求此时的值；
（3）________时，．
20．（6分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示.

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
21．（6分） “五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A．石林风景区；B．香格里拉普达措国家公园；C．腾冲火山地质公园；D．玉龙雪山景区．但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩
（1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果；
（2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率．
22．（8分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.

（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；
（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.
23．（8分）如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为50万元，2017年交易额为72万元．
（1）求2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率；
（2）如果按（1）中的增长率，到2018年“双十一”交易额是否能达到100万元？请说明理由．
24．（8分）如图，在中，，，以为顶点在边上方作菱形，使点分别在边上，另两边分别交于点，且点恰好平分．
（1）求证： ；
（2）请说明：．

25．（10分）已知抛物线 y = x2 + mx - 2m - 4（m>0）．
（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C，A，B，三点都在圆 P 上．
①若已知 B（-3，0），抛物线上存在一点 M 使△ABM 的面积为 15，求点 M 的坐标；
②试判断：不论 m 取任何正数，圆 P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由．
26．（10分）教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶次，每次射靶的成绩情况如图所示．
甲射靶成绩的条形统计图

乙射靶成绩的折线统计图

（）请你根据图中的数据填写下表：

平均数
众数
方差
甲
__________

乙

__________
__________
（）根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】求出次品率即可求出次品数量．
【详解】2000×(件)．
故选：D．
本题考查了样本估计总体的统计方法，求出样本的次品率是解答本题的关键．
2、C
【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
3、D
【解析】析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y1图象的交点横坐标，可确定y1＞y1时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y1=的图象相交于点M（1，m），N（-1，n），
∴当y1＞y1时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
4、B
【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．
【详解】∵是圆的内接正十二边形，
∴，
∵，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选B．

本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．
5、B
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．
故选：B．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
6、D
【分析】根据不等式组的解集的情况，得出关于m的不等式，求得m的取值范围，再解分式方程得出x，根据x是非负整数，得出m所有值的和．
【详解】解：∵关于的不等式组有解，
则，
∴ ，
又∵分式方程有非负整数解，
∴ 为非负整数，
∵，
∴ -10，-6，-2
由，
故答案选D．
本题考查含参数的不等式组及含参数的分式方程，能够准确解出不等式组及方程是解题的关键．
7、A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再计算出AE：CD=1：3，接着证明△AEF∽△CDF，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵，
∴，
∴，
∵AE∥CD，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
8、A
【分析】根据题意，分情况讨论：当二次函数开口向上时，在对称轴上取得最小值，列出关于m的一次方程求解即可；当二次函数开口向下时，在x=-1时取得最小值，求解关于m的一次方程即可，最后结合条件得出m的值．
【详解】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，
∴m＞0，当x=1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1=6，得m=﹣1(舍去)，
m＜0时，当x=﹣1时，取得最小值，即m(﹣1﹣1)2﹣5m+1=6，得m=﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
本题考查了二次函数的最值问题，注意根据开口方向分情况讨论，一次方程的列式求解，分情况讨论是解题的关键．
9、D
【解析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣（a+3），
故选：D．
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
10、A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选A．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】过作于，过作于， 由CD∥轴,CE∥轴，得 利用三角形相似的性质求解 建立方程求解，结合的几何意义可得答案．
【详解】．
解：过作于，过作于，
CD∥轴,CE∥轴，

直线分别交轴，轴于点A和点B,点，
把代入得：

同理：把代入得：

，

同理：

故答案为；．

本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，同时考查了一次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
12、1．
【解析】解：∵∠MON=90°，∴为圆玻璃镜的直径，，∴半径为．故答案为：1．
13、-2
【分析】根据比例的性质得到3b=4a，结合a+b=14求得a、b的值，代入求值即可．
【详解】解：由a：b=3：4知3b=4a，
所以b=，
所以由a+b=14得到：，
解得a=1．
所以b=8，
所以a-b=1-8=-2．
故答案为：-2．
考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则ad=bc.
14、24π
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．
15、（-5，）
【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
【详解】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为-5，纵坐标为，
故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．
故答案为：（-5，）．
此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
16、2
【分析】根据根的判别式，令，可得，解方程求出b＝﹣2a，再把b代入原方程，根据韦达定理：即可．
【详解】当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，
，即，
解得b＝﹣2a或b＝2a（舍去），
原方程可化为ax2﹣2ax+5a＝0，
则这两个相等实数根的和为．
故答案为：2．
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。
17、2
【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（2，0），可得结论．
【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x==1．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．
故填为2．
本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
18、或14
【解析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．
【详解】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知

∠A＝∠DFE＝60°
∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C
∴△BDF∽△CFE，∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3
∴BF＝1，CF＝3
设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝AD+BD＝4
∴
解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0
∴x＝是原方程的解
②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知

△BDF∽△CFE
∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6
设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝BD+AD＝4
∴解得a＝14
经检验当a＝14时，a﹣4≠0
∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14
故答案为或14
本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）2；（2）或；（3）
【分析】（1）如图1中，作于，于，利用勾股定理求出AC=10，根据，得到，求出，，，证明四边形是矩形，得到，证明，得到；
（2）作于，根据，得到，求出，，，再证明，得到，即可求出或；
（3）如图3中作于，证明，求出，利用得到，根据即可列式求出t.
【详解】（1）如图1中，作于，于，
∵，，，
∴AC=10，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

（2）如图2中，作于，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或．

（3）如图3中作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得（或舍弃）．
故答案为：．

此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，三角形与动点问题，是一道比较综合的三角形题.
20、（1） ；（2）销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】解：（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，.
∴，解得
∴与之间的关系式为
（2）设该公司日获利为元，由题意得

∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
.
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得。
21、（1）共有12种等可能结果；（2）
【解析】(1)用A、B、C、D分别表示石林风景区；香格里拉普达措国家公园 ；腾冲火山地质公园；玉龙雪山景区四个景区，然后画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）在12种等可能的结果中找出玉龙风景区被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）∵抽到玉龙雪山风景区的结果数为6，
∴抽到玉龙雪山风景区的概率为.
本题考查利用列举法求概率，学生们要熟练掌握画树状图法和列表法，是解本题的关键.
22、（1）200；（2）.
【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答.
【详解】解：（1）在中，，∴
∴米
（2）过点作于点，如图：
∴四边形是矩形，∴米
设米
∴在中，米
∴米
在中
∴米
在中，，∴
即
解得
∴米
（本题也可通过证明矩形是正方形求解.）

本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．
23、（1）20%；（2）不能，见解析
【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），2016年交易额是2500（1＋x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年的交易额，即可列出方程求解．
（2）利用2017年的交易额×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】解：（1）设所求的增长率为x，依据题意，得50（1+x）2=72，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为20%．
（2）依据题意，可得：72×（1+20%）=72×1.2=86.4（万元）
∵86.4＜100，
∴到2018年“双十一”交易额不能达到100万元．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据四边形是菱形，得到，又
推出,又点恰好平分,三线合一,
（2）可证，再证，从而求得
【详解】证明：

（1）连接，
∵，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形．
∵是的中点，
∴
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
本题考查了菱形的性质、三线合一以及相似三角形的性质.
25、（1）见解析；（2）①M或或或；②是，圆 P经过 y 轴上的定点（0,1）．
【分析】（1）令y=0，证明，即可解答；
（2）①将B（-3，0）代入y = x2 + mx - 2m - 4，求出抛物线解析式，求出点A的坐标，从而得到AB=5，根据△ABM 的面积为 15，列出方程解答即可；
②求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论．
【详解】解：（1）当y=0时，x2 + mx - 2m - 4=0
∴，
∵m>0，
∴，
∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；
（2）①将B（-3，0）代入y = x2 + mx - 2m - 4得：
，解得m=1，
∴y = x2 +x - 6，
令y=0得：x2 +x - 6=0，解得：，
∴A（2,0），AB=5，
设M（n，n2 +n - 6）
则，即
解得：，
∴M或或或．
②是，圆 P经过 y 轴上的定点（0,1），理由如下：
令y=0，
∴x2 + mx - 2m - 4=0，即
，
∴或，
∴A（2,0），，
∴OA=2，OB=m+2，
令x=0，则y=-2(m+2)，
∴OC=2(m+2)，
如图，∵点A，B，C在圆P上，
∴∠OCB=∠OAF，
在Rt△BOC中，，
在Rt△AOF中，，
∴OF=1，
∴点F（0,1）
∴圆 P经过 y 轴上的定点（0,1）．

此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，求出点A，B，C的坐标，根据圆的性质得出∠OCB=∠OAF是解本题的关键．
26、（1）【答题空1】6 6
（2）利用见解析.
【分析】（1）先求出甲射击成绩的平均数，通过观察可得到乙的众数，再根据乙的平均数结合方差公式求出乙射击成绩的方差即可；
（2）根据平均数和方差的意义，即可得出结果．
【详解】解：（），乙的众数为6，
．
（）因为甲、乙的平均数与众数都相同，甲的方差小，所以更稳定，因此甲的成绩好些．
本题考查了平均数、众数、方差的意义等，解题的关键是要熟记公式，在进行选拔时要结合方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．