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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若反比例函数的图象分布在二、四象限，则关于x的方程的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
2．将点A（﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
3．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在⊙O中，弦BC // OA，AC与OB相交于点M，∠C=20°，则∠MBC的度数为（ ）．
A．30° B．40°
C．50° D．60°
5．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
6．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
7．一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
8．如图，已知在ΔABC中，DE∥BC，则以下式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
10．如果某人沿坡度为的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
11．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤ B．c≤ C．c≥ D．c≥
12．如图，中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为 ．
14．已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．
15．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________.
16．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：__________．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
18．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P， D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．
（1）求线段AD的长；
（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；
（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．
20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
21．（8分）下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段、、（如图所示），求作线段，使.
他的作法如下：
1.以下为端点画射线，.
2.在上依次截取，.
3.在上截取.
4.联结，过点作，交于点.
所以：线段______就是所求的线段.
（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.
（2）这位同学作图的依据是______；
（3）如果，，，试用向量表示向量.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
24．（10分）元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
25．（12分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，装载速度（吨/天）与装完货物所需时间（天）之间的函数关系如图．
（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
26．已知关于的一元二次方程 (为实数且)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】反比例函数的图象分布在二、四象限,则k小于0，再根据根的判别式判断根的情况.
【详解】∵反比例函数的图象分布在二、四象限
∴k＜0
则
则方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
本题考查了一元二次方程方程根的情况，务必清楚时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根.
2、A
【分析】根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，即可得出答案．
【详解】解：根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，可知A、B两点关于原点对称，
∴点B坐标为（3，﹣4），
故选：A．
本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.
3、B
【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.
【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.
∵P是AB的中点，
∴PA=PB=AB=6=3.
∵和是等边三角形，
∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，
∴AP=PD，∠APD=120°.
∴∠PAD=∠ADP=30°，
同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，
∴∠PAD=∠PBQ.
∵AP=PB,
∴PQ⊥AB.
∴tan∠PAQ==
∴PQ= .
在Rt△AOP中，
即
解得：OA= .
∵sin∠AOP===
∴∠AOP=60°.
∴∠AOB=120°.
∴l=== .
故答案选B.
本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.
4、B
【分析】由圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）得到∠AOB，再由平行得∠MBC．
【详解】解：∵∠C=20°
∴∠AOB=40°
又∵弦BC∥半径OA
∴∠MBC=∠AOB =40°,
故选：B．
熟练掌握圆周角定理，平行线的性质是解答此题的关键．
5、D
【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
6、C
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
【详解】∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD-∠A=75°-45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
7、B
【分析】函数经过点（﹣1，1），把点的坐标代入解析式，即可求得k的值．
【详解】解：根据题意得：﹣1（k﹣1）+3＝1，
解得：k＝1．
故选B．
本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定满足函数解析式．
8、D
【分析】由DE∥BC可以推得ΔADE~ΔABC,再由相似三角形的性质出发可以判断各选项的对错．
【详解】∵DE∥BC，∴ΔADE~ΔABC,所以有：
A、，正确；
B、由A得，即，正确；
C、,即，正确；
D、，即,错误．
故选D．
本题考查三角形相似的判定与性质，根据三角形相似的性质写出有关线段的比例式是解题关键．
9、D
【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.
【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.
故选D.
本题考查了二次函数的最值.
10、A
【解析】设斜坡的铅直高度为3x，水平距离为4x，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】设斜坡的铅直高度为3x，水平距离为4x，由勾股定理得
9x2+16x2=100,
∴x=2,
∴3x=6m.
故选A.
此题主要考查坡度坡角及勾股定理的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是.
11、A
【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c的取值范围．
【详解】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
解得：c≤，
故选：A．
本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
12、C
【分析】根据勾股定理求出a，然后根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：根据勾股定理可得a=
∴
故选C．
此题考查的是勾股定理和求锐角三角函数值，掌握利用勾股定理解直角三角形和正弦的定义是解决此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【解析】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=1.
故答案为1.
考点：1一元二次方程；2三角形.
14、6.
【解析】分析: 设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.
详解: 设扇形的半径为r，
根据题意得：，
解得 ：r=6
故答案为6.
点睛: 此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.
15、x＜-2或x＞1
【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围．
【详解】如图所示：
∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．
故答案为：或．
本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式．
16、y=-x+2（答案不唯一）
【解析】①图象经过（1，1）点；②当x＞1时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为 y=-x+2，
故答案为y=-x+2（答案不唯一）．
17、.x1＝－3，x2＝2
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
18、2
【分析】设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为1．
∴a=5m=2．
故答案为：2．
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
三、解答题（共78分）
19、（1）5；（2）∥，理由见解析；（3）
【分析】（1）求出AE＝，证明△ABE∽△DEA，由可求出AD的长；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，证明△PEF∽△QEC，再证△EPQ∽△A'ED'，可得出∠EPQ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ∥A′D′，取A′D′的中点N，可得出∠PEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∴△ABE∽△DEA，
∴，
∴，
∴AD＝5；
（2）PQ∥A′D′，理由如下：
∵，∠AED＝90°
∴＝＝2，
∵AD＝BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，
过点E作EF⊥AD于点F，
则∠FEC＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，
∴∠PEF＝∠CEQ，
∵∠C＝∠PFE＝90°，
∴△PEF∽△QEC，
∴，
∵，
∴，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′
∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴＝为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，
∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，
∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）S阴＝．
【分析】（1）只要证明∠E=∠D，即可推出CD=CE；
（2）根据S阴=S扇形OBC-S△OBC计算即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）
【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；
（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.
【详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，
故答案为：CD；
（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.
（3），
∴△OAC∽△OBD，
.
，，
.得.
，，与反向，
.
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
22、（1）图见解析；（2）图见解析；路径长π．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，然后计算出OB的长后利用弧长公式计算点B旋转到点B2所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
OB＝＝2
点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣1．
【分析】（1）将（1，﹣1）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；
（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．
【详解】（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣1．
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．
24、（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：
解之得：，
经检验，，均符合题意
答：的值为2或7.
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
25、（1）；（2）80吨
【分析】（1））设y与x之间的函数表达式为y= ，然后根据待定系数法求出解析式，然后根据k确定x的取值范围；
（2）将x=5代入函数解析式求得y的值，即可解答．
【详解】解：（1）由图像可知与成反比例函数设
∵过点，
∴
∴与之间的函数表达式为；
∴自变量的取值范围：
（2）∵当时，
答：平均每天至少要卸80吨货物.
本题考查了反比例函数的应用，弄清题意、确定反比例函数的解析式是解答本题的关键．
26、 (1)证明见解析；(2)或．
【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】(1)依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
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