资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，是真命题的是
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．已知，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣2，6） D．（2，6）
6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
7．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点是中边的中点，于，以为直径的经过，连接，有下列结论：①;②;③;④是的切线.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
9．不等式组的整数解有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
10．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断
11．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC=50°，则∠A的度数是（ ）
A．25° B．20° C．80° D．100°
12．一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）＝1 B．（x+2）＝1 C．（x﹣2）＝﹣1 D．（x+2）＝﹣1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝__．
14．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为______．
15．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．
16．如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米．（精确到1米，参考数据：，）
17．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
18．数学课上，老师在投影屏上出示了下列抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
◎代表__________________ ，@代表_________________。
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
20．（8分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
21．（8分）某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止）
（1）请利用画树状图或列表的方法（只选其中一种），表示出转转盘可能出现的所有结果；
（2）如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．
23．（10分）如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；
（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：
①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；
②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．
24．（10分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．
解：x2﹣6x＝1 …①
x2﹣6x+9＝1 …②
（x﹣3）2＝1 …③
x﹣3＝±1 …④
x1＝4，x2＝2 …⑤
（1）小明解方程的方法是 ．
（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）公式法
他的求解过程从第 步开始出现错误．
（2）解这个方程．
25．（12分）阅读下列材料，完成相应的学习任务:如图（1）在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两条线段，其中AC＞BC．若AC，BC，AB满足关系AC2＝BC•AB．则点C叫做线段AB的黄金分割点，这时＝≈0.618，人们把叫做黄金分割数，我们可以根据图（2）所示操作方法我到线段AB的黄金分割点，操作步骤和部分证明过程如下：
第一步，以AB为边作正方形ABCD．
第二步，以AD为直径作⊙F．
第三步，连接BF与⊙F交于点G．
第四步，连接DG并延长与AB交于点E，则E就是线段AB的黄金分割点．
证明：连接AG并延长，与BC交于点M．
∵AD为⊙F的直径，
∴∠AGD＝90°，
∵F为AD的中点，
∴DF＝FG＝AF，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∵∠2+∠5＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4＝∠3＝∠1，
∵∠EBG＝∠GBA，
∴△EBG∽△GBA，
∴＝，
∴BG2＝BE•AB…
任务：
（1）请根据上面操作步骤与部分证明过程，将剩余的证明过程补充完整；（提示：证明BM＝BG＝AE）
（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是 （填出下列选项的字母代号）
A．华罗庚
B．陈景润
C．苏步青
26．若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)若x＝1是方程的一个根，求m的值和另一个根．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
【详解】因为，
所以，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故选D.
本题考查的是特殊角三角函数值和关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.
2、A
【解析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
3、C
【分析】依据比例的基本性质，将比例式化为等积式，即可得出结论．
【详解】A. 由可得，变形正确，不合题意；
B. 由可得，变形正确，不合题意；
C. 由可得，变形不正确，符合题意；
D. 由可得，变形正确，不合题意．
故选C．
本题考查了比例的性质，此题比较简单，解题的关键是掌握比例的变形．
4、B
【分析】设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.
【详解】设白球的个数为x，
由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，
则利用概率公式得：，
解得：，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.
5、C
【解析】试题解析：∵反比例函数图象过点(3,-4)，
即k=−12，
A. ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C. ∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.
D.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
故选C.
6、D
【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1．
故选D．
此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.
7、B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．
8、D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB的中点，得出AO为AB 的一半，故AO为AC的一半,选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得出OD与DE垂直，，选项④正确；由切线性质可判断②正确.
【详解】解：∵AB是圆的直径，∴，∴，选项①正确；
连接OD,如图，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，∴DO为的中位线，
∴，
又∵，∴,∴,∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB=OD,
∴，
∵AB为圆的直径，∴
∵
∴
∴，选项②正确；
∴AD垂直平方BC，
∵AC=AB，2OA=AB
∴，选项③正确
故答案为：D.
本题考查的知识点主要是圆的切线的判定及其性质，圆周角定理及其推论，充分理解各知识点并能熟练运用是解题的关键.
9、B
【分析】先解出不等式组的解集，然后再把所有符合条件的整数解列举出来即可.
【详解】解：解得，
解得，
∴不等式组的解集为：，
整数解有1、2、3共3个，
故选：B.
本题考查了一元一次不等式组的的解法，先分别求出各不等式的解集，注意化系数为1时，如果两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变；再求各个不等式解集的公共部分，必要时，可用数轴来求公共解集.
10、B
【解析】比较OP与半径的大小即可判断.
【详解】，，
，
点P在外，
故选B．
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.
11、A
【解析】∵∠BOC=50°，
∴∠A=∠BOC=25°．
故选：A．
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
12、B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2+4x＝﹣3，
∴x2+4x+4＝1，
∴（x+2）2＝1，
故选：B．
本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据白球的概率公式列出方程求解即可．
【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球4个，
根据概率公式知：P（白球）＝，
解得：n＝1，
故答案为：1．
此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P.
14、
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，由图可知，阴影部分的面积＝△CBF的面积，根据题目的条件和图形，可以求得△BCF的面积，从而可以解答本题．
【详解】连接OD、OF、BF，作DE⊥OA于点E，
∵ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，
∴OA＝OD＝AD＝OF＝OB＝2，DC∥AB，
∴△DOA是等边三角形，∠AOD＝∠FDO，
∴∠AOD＝∠FDO＝60°，
同理可得，∠FOB＝60°，△BCD是等边三角形，
∵弓形DF的面积＝弓形FB的面积，DE＝OD•sin60°＝，
∴图中阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
15、4π
【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长=，
故答案为4π.
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.
16、566
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）．
故答案为566.
考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
17、
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
【详解】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足：
一共有：,,、,、,三种情况，满足条件的有,、,两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为：．
本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键．
18、∠EFC 内错角
【分析】根据图形，结合三角形外角的性质、等量代换、平行线的判定即可将解答补充完整.
【详解】证明：延长BE交DC于点F，
则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）.
又，得，
故（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：∠EFC；内错角.
本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定，通过作辅助线，构造内错角证明平行，及有效地进行等量代换是证明的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）CD=
【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；
（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90° ，
∵CF⊥CE，
∴∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点，
∴BF=AB，
∴设CD=BF=x，
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴ ，
∵x>0，
∴x=，
即：CD=.
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质
20、见解析，
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.
21、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；本题用列表法得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果；
（2）无理数是无限不循环小数，找出乘积为无理数的情况数，再除以所有等可能出现的结果数，即可求出一等奖的概率．
【详解】（1）由题意列表如下，
由列表得知：当A转盘出现0，1，-1时，B转盘分别可能有4种等可能情况，
所以共有4×3=12种等可能情况．
即（0，）、（0,1．5）、（0,-3）、（0,﹣）、（1，）、（1,1．5）、（1,-3）、（1,﹣）、（-1，）、（-1,1．5）、（-1,-3）、（-1,﹣）．
（2）无理数是无限不循环小数，由列表得知：乘积是无理数的情况有2种，即（1,﹣）、（-1,﹣）．乘积分别是﹣，，
∴P（乘积为无理数）==．即P（获得一等奖）=．
考点：用列表法或树状图法求随机事件的概率．
22、（1）证明见解析；（2）BE的长是
【分析】（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；
（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．
【详解】（1）连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴
∴
解得：OC=，
∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，
答：BE的长是．
23、（1）y＝x2﹣4x；（2）A（，﹣）；（3）①平行四边形，理由见解析；②A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．
【分析】（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx+c即可求表达式；
（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝，即可求A（，﹣）；
（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD是平行四边形；
②四边形由OBCD是平行四边形，，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．
【详解】解：（1）∵图象经过原点，
∴c＝0，
∵顶点为P（2，﹣4）
∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），
将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵∠APO＝90°，
∴AP⊥PO，
∵A（m，m2﹣4m），
∴m﹣2＝，
∴m＝，
∴A（，﹣）；
（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），
∴CD∥OB，
∵CD＝4，OB＝4，
∴四边形OBCD是平行四边形；
②∵四边形OBCD是平行四边形，，
∴12＝4×（﹣n），
∴n＝﹣3，
∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．
本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及二次函数求解析式、直角三角形、平行四边形等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推导求解．
24、（1）C，②；（2）x1＝+1，x2＝﹣+1．
【分析】（1）认真分析小明的解答过程即可发现其在第几步出现错误、然后作答即可；
（2）用配方法解该二元一次方程即可.
【详解】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故选：C，
他的求解过程从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）∵x2﹣6x＝1
∴x2﹣6x+9＝1+9
∴（x﹣1）2＝10，
∴x﹣1＝±
∴x＝±+1
∴x1＝+1，x2＝﹣+1．
本题考查解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，主要方法有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法.
25、（1）见解析；（2）A
【分析】（1）利用相全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质以及平行线的性质证明BM=BG=AE即可解决问题．
（2）为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．
【详解】（1）补充证明：∵∠2＝∠4，∠ABM＝∠DAE，AB＝AD，
∴△ABM≌△DAE（ASA），
∴BM＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠5＝∠6＝∠8，
∴BM＝BG＝AE，
∴AE2＝BE•AB，
∴点E是线段AB的黄金分割点．
（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．
故答案为A．
本题考查作图-相似变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．
26、（1）m＞﹣2且m≠﹣1；（2）方程的另一个根为x＝﹣．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2+4（m+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）先根据方程的解的定义把x=1代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为3x2-2x-1=0，然后解方程得到方程的另一根．
【详解】（1）根据题意得△＝（﹣2）2+4（m+1）＞0，
解得m＞﹣2，
且m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
所以m＞﹣2且m≠﹣1；
（2）把x＝1代入原方程得m+1﹣2-1＝0，
解得m＝2，
∴原方程变为3x2﹣2x﹣1＝0
解方程得x1＝1，x2＝﹣，
∴方程的另一个根为x＝﹣．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
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