资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知函数的图像上两点，，其中，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
2．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A．16块，16块 B．8块，24块
C．20块，12块 D．12块，20块
3．等腰三角形底边长为10，周长为36，则底角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论:
①；
②；
③方程的两个根是；
④方程有一个实根大于；
⑤当时，随增大而增大.
其中结论正确的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
7．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5
9．某水库大坝高米，背水坝的坡度为，则背水面的坡长为（ ）
A．40米 B．60米 C．米 D．米
10．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45°
C．90° D．135°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．
12．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 _____cm.
13．若圆锥的母线长为４cm，其侧面积，则圆锥底面半径为 cm．
14．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转______度才能与它本身重合
15．如图，在中，，，延长至点，使，则________.
16．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．
17．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：4+(-2)2×2-(-36)÷4
20．（6分）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
21．（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（Ⅰ）若花园的面积是252m2，求AB的长；
（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
22．（8分）阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①；②；③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为 ，第n个方程为 ；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
23．（8分）2019年鞍山市出现了猪肉价格大幅上涨的情况，经过对我市某猪肉经销商的调查发现，当猪肉售价为60元/千克时，每天可以销售80千克，日销售利润为1600元（不考虑其他因素对利润的影响）：售价每上涨1元，则每天少售出2千克；若设猪肉售价为x元/千克，日销售量为y千克．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若物价管理部门规定猪肉价格不高于68元/千克，当售价是多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
24．（8分）（1）解方程：
（2）计算：
25．（10分）如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
26．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由二次函数可知，此函数的对称轴为x＝2，二次项系数a＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．
【详解】函数的对称轴为x＝2，二次函数开口向下，有最大值，
∵，
A到对称轴x＝2的距离比B点到对称轴的距离远，
∴
故选：B．
本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象性质．
2、D
【解析】试题分析：根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y块，而黑皮共有边数为5x块，依此列方程组求解即可．
解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x，y．
则，
解得，
即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块．
故选D．
3、A
【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，BC=10cm，AB=AC，
可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．
又AD是底边BC上的高，
∴CD=BD=5cm，
∴cosC=，
即底角的余弦值为，
故选：A．
本题主要考查等腰三角形的性质和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．
4、A
【解析】根据二次函数的图象与性质进行解答即可.
【详解】解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0
又∵对称轴x=1
∴
∴b=-2a＞0
又∵当x=0时，可得c=3
∴abc＜0，故①正确；
∵b=-2a＞0，
∴y=ax2-2ax+c
当x=-1，y＜0
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0
又∵a＜0
∴4a+c＜0，故②错误；
∵，c=3
∴
∴x（ax-b）=0
又∵b=-2a
∴，即③正确；
∵对称轴x=1，与x轴的左交点的横坐标小于0
∴函数图像与x轴的右交点的横坐标大于2
∴的另一解大于2，故④正确；
由函数图像可得，当时，随增大而增大，故⑤正确；
故答案为A.
本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识和正确运用数形结合思想是解答本题的关键.
5、D
【分析】先得到抛物线y=x2-2的顶点坐标为（0，-2），再把点（0，-2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（-3，1），得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【详解】解：抛物线y=x2-2的顶点坐标为（0，-2），把点（0，-2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（-3，1），
所以平移后抛物线的解析式为y=（x+3）2+1，
故选：D．
本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
6、B
【分析】根据等量关系：空白区域的面积＝矩形空地的面积，列方程即可.
【详解】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：B．
本题考查了一元二次方程的实际应用－几何问题，理清题意找准等量关系是解题的关键.
7、B
【分析】把配成顶点式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：
故选：B
考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8、B
【解析】由平行四边形得AD=BC，在Rt△BAC中，点E为BC边中点，根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可求出AE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥AB，∴△BAC为Rt△BAC，
∵点E为BC边中点，
∴AE=BC=.
故选B.
9、A
【解析】坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示，可知坡度与坡角的关系式，tanα(坡度)=垂直距离÷水平距离，根据公式可得水平距离，依据勾股定理可得问题的答案．
【详解】∵大坝高20米，背水坝的坡度为1:，
∴水平距离=20×=20米．
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
故选A．
本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角的有关知识，熟悉且会灵活应用坡度公式是解此题的关键.
10、C
【分析】根据勾股定理求解.
【详解】设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2==16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
考点：勾股定理逆定理.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4
【解析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
【详解】∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.
12、8
【解析】根据相似三角形的性质即可解题.
【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,
由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比,
∴30:60=CD：16,
解得：CD=8cm.
本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.
13、3
【解析】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l==6π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r==3cm，
14、120
【分析】根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°．
【详解】解：等边△ABC绕着它的中心，至少旋转120度能与其本身重合．
本题考查旋转对称图形及等边三角形的性质．
15、
【分析】过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明 △ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.
【详解】解:过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∵，
∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，
设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，
∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，
∴△ACF∽△DCE，
∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE，
解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，
∴在Rt△AED中， DE：AE=2k：=.
故答案为：.
本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.
16、4：1
【解析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：1．
故答案为：4：1．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17、3．
【分析】将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.
【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，
则线段BF为所求的最短路线．
设∠BAB′＝n°．
∵，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6
∴AF＝3，BF＝＝3，
∴最短路线长为3．
故答案为：3．
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
18、（﹣8，4），（8，﹣4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．
【详解】解：以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），
即（﹣8，4），（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4），（8，﹣4）．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
三、解答题(共66分)
19、21
【解析】试题分析:先乘方,再乘除,最后再计算加减.
试题解析: 4+(-2)2×2-(-36)÷4,
=4+4×2-(-36)÷4,
=4+8－(－9),
=12+9,
=21.
20、（1）详见解析；（2）不是；（3）
【分析】（1）根据已知条件可知，根据对顶角相等可知，由此可证明；
（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）
（3）由△ADP∽△BCP，可得，而∠APB与∠DPC为对顶角，则可证△APB∽△DPC，从而得，再根据即可求得AP的长．
【详解】(1)证明:∵，
∴；
(2)点A、D、P的对应点依次为点B、C、P，对应点的连线不相交于一点，故与不是位似图形；
(3)解:∵
∴
∵，
∴，
∴
∴．
本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
21、（Ⅰ）13m或19m；（Ⅱ）当AB＝16时，S最大，最大值为：1．
【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；
（Ⅱ）设花园的面积为S，根据矩形的面积公式得到S=x（28-x)=- ＋28x=–+196，于是得到结果．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝xm，则BC＝（32﹣x）m，
∴x（32﹣x）＝252，
解得：x1＝13，x2＝19，
答：x的值为13m或19m；
（Ⅱ）设花园的面积为S，
由题意得：S＝x（32﹣x）＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣16）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝16时，S最大，最大值为：1．
本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
22、（1）9，2n+1；（2）2n+1，见解析
【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；
（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．
【详解】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；
故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．
（2）x+＝2n+1，
观察得：x1＝n，x2＝n+1，
将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n是方程的解；
将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，
则经检验都为原分式方程的解．
本题主要考查的是分式方程的解，根据所给方程找出规律是解题的关键．
23、（1）y＝200﹣2x；（2）售价是68元/千克时，日销售利润最大，最大利润是1元
【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天少售出2千克即可列出函数关系式；
（2）根据（1）所得关系式，销售利润＝每千克的利润×销售量列出二次函数关系式，再求出最值即可．
【详解】解：（1）根据题意，得
设猪肉进价为a元/千克，
（60﹣a）×80＝1600，解得a＝40，
y＝80﹣2（x﹣60）＝200﹣2x．
答：y与x的函数解析式为：y＝200﹣2x．
（2）设售价为x元时，日销售利润为w元，根据题意，得
w＝（x﹣40）（200﹣2x）
＝﹣2x2+280x﹣8000；
＝﹣2（x﹣70）2+1800
∵﹣2＜0，当x＜70时，w随x的增大而增大，
∵物价管理部门规定猪肉价格不高于68元/千克，
∴x＝68时，w有最大值，最大值为1．
答：当售价是68元/千克时，日销售利润最大，最大利润是1元．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
24、（1）;（2）-1
【分析】（1）方程因式分解后即可求出解；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
【详解】（1），
，
；
（2）=1-2=-1
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
25、见解析
【分析】连接AA′，作AA′的垂直平分线得到它的中点O，则点O为对称中心，延长BO到B′，使OB′=OB，延长CO到C′，使OC′=OC，则△A′B′C′满足条件．
【详解】如图，点O和△A′B′C′为所作．
本题考查了根据旋转变化作图的知识，根据作线段的垂直平分线找到对称中心是解决问题的关键．
26、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
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