资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
A． B． C． D．
3．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．8tan20° B． C．8sin20° D．8cos20°
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC等于（ ）
A． B．4 C．36 D．
6．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．25% D．40%
8．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
9．如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
10．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（ ）
A．74 B．44 C．42 D．40
11．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，任取两个数，恰好和为﹣1的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为___________．
14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为_____________．
15．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．
16．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝_____．
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，则菱形ABCD的面积是________.
18．如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
20．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.
（1）求、的值；
（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.
21．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果=3，=2，DE=6，求BC的长．
22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝，cos∠DBC＝，求DC和AB的长．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；
（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．
24．（10分）如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；
（2）在图②中画圆的一个内接正八边形.
25．（12分）用配方法解下列方程.
(1) ;
(2) .
26．将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点与圆心O′.
（1）求的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【详解】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，
如图所示，使用2次即可找到圆心O，
故选B.
本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.
2、C
【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
3、B
【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：根据题意，在A，B，C，D四个点中任选三个点，有：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，共4个三角形；
其中是等腰三角形的有：△ACD、△BCD，共2个；
∴能够组成等腰三角形的概率为：；
故选：B．
本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．
4、A
【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】设木桩上升了h米，
∴由已知图形可得：tan20°=，
∴木桩上升的高度h=8tan20°
故选B.
5、B
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴＝，
解得BC＝4，
故选B．
本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.
6、C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是1；
（1）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、a=0，故本选项错误；
B、有两个未知数，故本选项错误；
C、本选项正确；
D、含有分式，不是整式方程，故本选项错误；
故选：C．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
7、B
【分析】2019年水果产量=2017年水果产量，列出方程即可.
【详解】解：根据题意得，
解得（舍去）
故答案为20%，选B.
本题考查了一元二次方程的应用.
8、C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣1．
故选C．
9、C
【分析】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为，利用数形结合求解即可.
【详解】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.
10、C
【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.
考点：众数.
11、D
【分析】画树状图展示所有15种等可能的结果数，找出恰好和为-1的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中恰好和为-1的结果数为3，
所以任取两个数，恰好和为-1的概率＝．
故选：D．
本题考查的是概率的问题，能够用树状图解决简单概率问题是解题的关键.
12、C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据从反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段和坐标轴所围成的矩形的面积是，且保持不变，进行解答即可．
【详解】由题意得，
∵反比例函数图象在第二象限
∴
∴反比例函数的解析式为y＝－．
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数k的几何意义，即可完成.
14、
【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，得出，求出AB，BA1，求出边长A1C=，求出面积即可；求出第2个正方形的边长是，求出面积，再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第n个正方形的边长，求出面积即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴ ，
∵AB=AD=
∴BA1=
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，
面积是 ；
同理第3个正方形的边长是
面积是；
第4个正方形的边长是 ，面积是
…，
第n个正方形的边长是，面积是
故答案为：
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目
15、
【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．
【详解】解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=,则DF=
∴的面积为=
故答案为．
本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
16、
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．
当，
将
故答案为：
本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
17、
【分析】在Rt△OBC中求出OB的长，再根据菱形的性质求出AC、BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，
∵，，
∴BC=4cm，
∴OB=cm，
∴AC=4cm，BD=cm，
∴菱形ABCD的面积是： cm2.
故答案为：.
本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.也考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用.
18、6.
【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=, S△BOE=，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．
【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=S△AOC，
∵点A为函数y=（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=，
同理得：S△BOE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为6.
三、解答题（共78分）
19、（1）与的函数关系式为；（2）该设备的销售单价应是27 万元．
【分析】（1）根据图像上点坐标,代入,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
依题意，得解得
所以与的函数关系式为．
（2）依题知．
整理方程，得．
解得．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴（舍），所以．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
20、（1），；（2）；（3）或或
【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可
(2) 过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可
(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.
【详解】解：(1)把和代入得：
解方程组得出：
所以，
，
(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.
两个直角三角形的三个角对应相等，
∴
∴
∴
∵解得：
∴
(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，
∵MP与PE都为圆的半径，
∴MP=PE
∴
整理得出，
∴
∵
∴y=1,
∴当y=1时有，，解得，；
∴当y=-1时有，，此时，x=0
∴综上所述得出P的坐标为：或或
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
21、 (1)证明详见解析；(2)1.
【详解】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与=3，=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
试题解析：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE•BC=BD•AC；
（2）解：设△ABE中边AB上的高为h，
∴=，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴BC=1．
考点：相似三角形的判定与性质．
22、DC=6；AB=，
【分析】如图，作EH⊥AC于H．解直角三角形分别求出DE，EB，BC，CD，再利用相似三角形的性质求出AE即可解决问题．
【详解】如图，作EH⊥AC于H．
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵tan∠ABD＝＝，BD＝10，
∴DE＝5，BE＝＝＝5，
∵∠C＝90°，cos∠DBC＝＝，
∴BC＝8，CD＝＝＝6，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴AB＝AE+BE=+5＝．
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
23、（1）y＝x2﹣x+1； （2）Q（1，﹣1）；（3）M（2，1）
【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），由AB＝，所以（t﹣2）2+1＝2，求出B（1，0）或B（3，0），当B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，所以B（3，0），可证明△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，即可求Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，则有b＝a2﹣a+1，因为P到直线l的距离等于PM，所以（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，可得+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，由a为任意值上述等式均成立，有，可求定点M的坐标．
【详解】解：（1）∵图象经过点C（0，1），
∴c＝1，
∵当x＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x＝2，
∴，解得：k＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），
∵AB＝，
∴（t﹣2）2+1＝2，
∴t＝1或t＝3，
∴B（1，0）或B（3，0），
∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，
∴B（3，0），
∴AC＝2，BC＝，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，
设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，
∴x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，
∴b＝a2﹣a+1，
∵P到直线l的距离等于PM，
∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，
∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，
∵a为任意值上述等式均成立，
∴，
∴，
此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，
∴定点M（2，1）．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；
（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
【详解】（1）设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形即为所求．
（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形即为所求．
此题考查的是画圆的内接正六边形和内接正八边形，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键．
25、 (1); (2).
【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：，
，
即，
或，
原方程的根为：.
，
，
，
，即，
或，
原方程的根为：.
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.
26、（1）（2）
【解析】试题分析：（1）连结BC，作O′D⊥BC于D，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．
试题解析：
（1）连结BC,作OD⊥BC于D,
可求得∠BO′C=120,O′D=5,
的长为
（2）
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