资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．c＜ C．c＞ D．c＞
2．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ）
A． B． C． D．
3．把分式中的、都扩大倍，则分式的值（ ）
A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍
4．在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（ ）．
A．50°； B．60°；
C．70°； D．80°．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
6．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
7．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是
A． B． C． D．
8．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上
C． D．
10．一元二次方程x²-4x-1=0配方可化为（ ）
A．(x+2)²=3 B．(x+2)²=5 C．(x-2)²=3 D．(x-2)²=5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则是_______．
12．九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为____．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵
坐标y的对应值如下表
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－3
－3
－1
3
9
…
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝________．
14．为了对1000件某品牌衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格衬衣的频率稳定在常数0.98附近，由此可估计这1000件中不合格的衬衣约为__________件．
15．一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．
16．二次函数y=x2−4x+5的图象的顶点坐标为 ．
17．从，0，，，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________．
18．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且，若△OBC的面积等于3，则k的值为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣2，5）和点B（n，l）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围；
（3）点P是y轴上的一个动点，若S△APB＝8，求点P的坐标．
20．（6分）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
求一次函数的表达式；
若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
21．（6分）如图，分别是的边，上的点，，，，，求的长.
22．（8分）如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，当点与点重合时停止．连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，．
（1）______；
（2）如图，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；
（3）如图，当时，求的长；
（4）如图，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，直接写出直线与的位置关系．
23．（8分）如图，在中，是边上的高，且．
（1）求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
24．（8分）仿照例题完成任务：
例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为，点,,,都在格点上，与相交于点，求的值.
解析：连接,，导出，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题.具体解法如下：
连接,，则，
，根据勾股定理可得：
,,,
，
是直角三角形，，
即.
任务：
（1）如图2，,,,四点均在边长为的正方形网格的格点上，线段,相交于点，求图中的正切值；
（2）如图3，,,均在边长为的正方形网格的格点上，请你直接写出的值.
25．（10分）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点的切线分别交，的延长线于点，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
26．（10分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝1．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据方程没有实数根，则解得即可．
【详解】由题意可知：△＝=9﹣4c＜0，
∴c＞，
故选：D．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
2、D
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，
∴正方形的面积＝四边形的面积，
∴，，
∴，，
∴．
故选D．
本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．
3、C
【分析】依据分式的基本性质进行计算即可．
【详解】解：∵a、b都扩大3倍，
∴
∴分式的值不变．
故选：C．
本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4、C
【分析】根据已知可以确定；根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴
与是对应角，与是对应角，
故．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出和是对应角是解题的关键．
5、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
6、C
【分析】根据正切函数的定义，可得BC，AC的关系，根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】tanA＝＝，BC＝x，AC＝3x，
由勾股定理，得
AB＝x，
sinA＝＝，
故选：C．
本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x，AC=3x是解题关键．
7、D
【解析】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D．
8、A
【分析】根据比例的性质，逐项分析即可.
【详解】A. ∵，∴，∴，正确；
B. ∵，∴，∴ ，故不正确；
C. ∵，∴，故不正确；
D. ∵，∴，∴ ，故不正确；
故选A.
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键，如果，那么或或.
9、C
【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
【详解】解：如图所示，
由题意可知，∠4=50°，
∴∠5=∠4=50°，即地在地的北偏西50°方向上，故A错误；
∵∠1=∠2=60°，
∴地在地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BAC=30°，
∴，故C正确；
∵∠6=90°−∠5=40°，即∠ACB=40°，故D错误．
故选C．
本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．
10、D
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2−4x−1＝0，
x2−4x＝1，
x2−4x＋4＝1＋4，
（x−2）2＝5，
故选：D．
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【分析】分两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：①当时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
②当时，
同理可得，，
故答案为或．
考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12、（x﹣1）x＝2256
【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【详解】根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，
∴全班共写：(x−1)x=2256，
故答案为：(x−1)x=2256.
此题考查一元二次方程，解题关键在于结合实际列一元二次方程即可.
13、－1
【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】解:把x=0,y=-1,x=1,y=-1,x=-1,y=-1代入y＝ax2＋bx＋c得
，解得，∴y=x²+x-1,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-1）=11，
∴x==−1±，
∵<0,
∴=−1-＜0，
∵-4≤-≤-1，
∴，
∴-1≤−1−≤，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-1，
故答案为:-1．
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
14、1
【分析】用总件数乘以不合格衬衣的频率即可得出答案．
【详解】这1000件中不合格的衬衣约为：(件)；
故答案为：1．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15、x1=x2=2
【分析】根据配方法即可解方程.
【详解】解：x2﹣4x+4=0
（x-2）2=0
∴x1=x2=2
本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.
16、（2，1）
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】将二次函数配方得
则顶点坐标为（2，1）
考点：二次函数的图象和性质．
17、
【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：，共2种情况，则可利用概率公式求解．
【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：，共2种情况，
∴取到无理数的概率是：．
故答案为：．
此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18、
【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．
【详解】设C（x，y），BC=a．
则AB=y，OA=x+a．
过D点作DE⊥OA于E点．
∵OD：DB=1：2，DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，
∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a）．
∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a），y），
∴y•（x+a）=k，即xy+ya=9k，
∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，
∴ya=8k．
∵△OBC的面积等于3，
∴ya=3，即ya=1．
∴8k=1，k=．
故答案为：．
三、解答题(共66分)
19、（1）y1＝﹣，y2＝x+6；（2）x≤﹣10或﹣2≤x＜0；（3）点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（﹣10，1），然后利用待定系数法求一次解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），利用三角形面积公式，利用S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ得到|m﹣6|×（10﹣2）＝1，然后解方程求出m即可得到点P的坐标．
【详解】解：（1）把A（﹣2，5）代入反比例函数y1＝得k＝﹣2×5＝﹣10，
∴反比例函数解析式为y1＝﹣，
把B（n，1）代入y1＝﹣得n＝﹣10，则B（﹣10，1），
把A（﹣2，5）、B（﹣10，1）代入y2＝ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y2＝x+6；
（2）由图象可知，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣10或﹣2≤x＜0；
（3）设y＝x+6与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），
∴S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ＝1，
|m﹣6|×（10﹣2）＝1，解得m1＝4，m2＝1．
∴点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
20、（1）；（2）销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
【分析】（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题.
【详解】解：根据题意得，
解得．
所求一次函数的表达式为．
（2）
，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
又因为获利不得高于45%，60
所以，
∴当时，．
∴当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.
21、
【分析】先求出AD的长，再根据平行线分线段成比例定理，即可求出AC.
【详解】解：∵，，
∴.
∵，
∴.
∵
∴.
∴.
此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握利用平行线分线段成比例定理列出比例式是解决此题的关键.
22、（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）的长为或；（4）
【分析】(1)先证AC垂直平分DB,即可证得AD=AB;
(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD是等边三角形；
(3)分当点在上时和当点在上时，由勾股定理列方程求解即可；
(4)连结OC,证明OC∥AD, 由与半圆相切，可得∠OCP=90°,即可得到与的位置关系.
【详解】解：（1）∵为直径，
∴∠ACB=90°,
又∵
∴AD=AB
∴，
故答案为10；
（2）是等边三角形，
理由如下：∵点与点重合，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴是等边三角形；
（3）∵，∴，
当点在上时，
则，，∵，，
∴在和中，
由勾股定理得，即，
解得，∴；
当点在上时，同理可得，
解得，∴，
综上所述，的长为或；
（4）.
如图，连结OC，
∵与半圆相切，
∴OC⊥PC,
∵△ADB为等腰三角形，,
∴∠DAC=∠BAC,
∵AO=OC
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴OC∥AD,
∴.
考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
23、（1）；（2）
【分析】(1) 是边上的高，且，就可以得出，可得∠A=∠BCD，由直角三角形的性质可求解；
(2证明，可得，再把代入可得答案．
【详解】（1）证明：在中，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知是直角三角形，在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．
24、（1）2；（2）1.
【分析】（1）如图所示，连接,,与交于点，则，可得出，再证明是直角三角形即可得出；
（2）连接BC，根据勾股定理可得AB,AC,BC的值，可判断为等腰直角三角形，即可得出.
【详解】解：（1）
如图所示，连接,,与交于点，则,
，
根据勾股定理可得：
，，，
，
是直角三角形，，
,
.
（2）
连接BC，
根据勾股定理可得：
AC==，BC==，AB==.
,.
为等腰直角三角形
.
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）1
【解析】（1）连结OD，由圆内的等腰三角形和角平分线可证得，再由切线的性质即可证得结论；
（2）记与交于点，由中位线和矩形的性质可得OG和DG的长后相加即可求得的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，且点在上，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：记与交于点，
由（1）知，，
∵，即O为AB中点，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，则∠FCB=90°，
由（1）知，，
∴四边形AFDG为矩形，
∴
∴，
即的半径为1．
本题主要考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，同时也要注意角平分线、中位线和矩形等知识的运用．
26、（1）；（2）见解析
【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；
（2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．
【详解】（1）∵AE＝4，AC＝1
∴CE=AC-AE＝1-4＝5
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB
本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
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