资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点 C，∠ECB=35°， 则∠D 的度数是（ ）
A．145° B．125° C．90° D．80°
2．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°
4．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm
6．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
7．把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）+2 B．y＝﹣（x﹣1）+2
C．y＝﹣（x+1）+2 D．y＝﹣（x﹣1）﹣2
8．如图，动点A在抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（ ）
A．2≤BD≤3 B．3≤BD≤6 C．1≤BD≤6 D．2≤BD≤6
9．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．下图中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________.
12．若两个相似三角形的周长比是，则对应中线的比是________．
13．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为_____．
14．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0~9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是__________.
15．若，则=_____．
16．函数y＝（m为常数）的图象上有三点（﹣1，y1）、、，则函数值y1、y2、y3的大小关系是_____．（用“＜”符号连接）
17．已知m，n是方程的两个实数根，则．
18．如果关于的一元二次方程的一个根是则_______________________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程没有实数根的概率．
20．（6分）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．
21．（6分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
22．（8分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：.积极参与，.一定参与，.可以参与，.不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图.
学生参与“朗读”的态度统计表
类别
人数
所占百分比
18
20
4
合计
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，并将条形统计图补充完整；
（2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？
（3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果.
23．（8分）（2016山东省聊城市）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
24．（8分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．
26．（10分）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.
（1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影.
（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题解析：连接
∵EC与相切,
故选B.
点睛：圆内接四边形的对角互补.
2、B
【解析】因为旋转后得到△AMN与△ABC相似,则∠AMN=∠C=40°,因为旋转前∠AMN=80°,所以旋转角度为40°,故选B.
3、C
【解析】试题分析：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF=FB，∠AOF=∠FOB，
∵OA=3，AB=，
∴AF=AB=，
∴sin∠AOF=，
∴∠AOF=45°，
∴∠AOB=2∠AOF=90°，
∴∠ADB=∠AOB=45°，
∴∠AEB=180°-45°=135°．
故选C.
考点: 1.垂径定理；2.圆周角定理；3.特殊角的三角函数值．
4、A
【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】四边形ABCD为平行四边形
故选A.
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
5、D
【分析】根据底面周长=展开图的弧长可得出结果．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=30（cm），
即这个圆锥的底面半径为30cm．
故选：D．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6、A
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即=25%，即可即解得a的值
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，∴=25%，解得：a=1．
故本题选A.
本题考查用频率估计概率，熟记公式正确计算是本题的解题关键
7、D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】抛物线y＝﹣x1向右平移1个单位，得：y＝﹣（x﹣1）1；
再向下平移1个单位，得：y＝﹣（x﹣1）1﹣1．
故选：D．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
8、D
【分析】根据题意先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据矩形的性质得BD=AC，由于2≤AC≤1，从而进行分析得到BD的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
∵直线l经过点（0，1），且与y轴垂直，抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3），
∴2≤AC≤1，
∴另一对角线BD的取值范围为：2≤BD≤1．
故选：D．
本题考查矩形的性质与二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9、D
【分析】根据“每年的人均收入上一年的人均收入（1年增长率）”即可得．
【详解】由题意得：2018年的人均收入为元
2019年的人均收入为元
则
故选：D．
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．
10、D
【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【解析】由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积.
【详解】解：由题意可知.因为cm，所以cm.在中，根据勾股定理可知，，所以，所以cm，所以的面积为（）.
故答案为：6
本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.
12、4:9
【分析】相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：两个相似三角形的周长比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴两个相似三角形对应中线的比是，
故答案为．
13、1
【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），
∴AB=3，
由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵点，
∴点D的坐标为，
∵顶点在线段AB上移动，
∴点D的横坐标的最大值为：5+3=1；
故答案为1．
本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14、
【分析】根据题意可知密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，
∴小丽能一次支付成功的概率是．
故答案为：．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15、
【解析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解.
【详解】∵ ,
∴4(a-b)=3b,
∴4a=7b,
∴,
故答案为:.
本题考查了比例的性质,熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
16、y2＜y1＜y1
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为一、三，其中在第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点（﹣1，y1）和（，y2）的纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数为m2+1＞0，
∴图象的两个分支在一、三象限；
∵第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，点（﹣1，y1）和（，y2）在第三象限，点（，y1）在第一象限，
∴y1最小，
∵﹣1＜，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y1．
故答案为y2＜y1＜y1．
考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在一、三象限；第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而减小．
17、3
【解析】根据题意得m+n=−2，mn=−5，
所以m+n−mn=2−（-5）=3.
18、
【分析】把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+1=0，即可得到a－b的值．
【详解】解：把x=-1代入一元二次方程ax2+bx+1=0，
得a-b+1=0，
所以a-b=﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析（2）
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得满足关于x的方程没有实数解的有：（-1，1），（0，1），（1，1），再利用概率公式即可求得答案．
【详解】(1)画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
(2)方程没有实数解,即△=p−4q<0，
由(1)可得：满足△=p−4q<0的有：(−1,1),(0,1),(1,1)，
∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为：
此题考查列表法与树状图法，根的判别式，掌握运算法则是解题关键
20、 (1) ;(2) 见解析.
【分析】（1） 根据顶点公式求出D坐标(利用a，b，c表示)，得到OC,DH（利用a，b，c表示）值，因为S△ABD：S△ACB＝9：16，所以得到DH:OC=9:16,得到c=4a，利用交点式得出A,B即可.
（2） 由题意可以得到，求出DH,EH(利用a表示),因为 △DBH与△BEH相似，得到，即可求出a（注意舍弃正值），得到解析式.
【详解】解：（1） ∴
∵C(0，c) ∴OC=-c，DH= ∵S△ABD：S△ACB＝9∶16
∴ ∴
∴ ∴
（2）① ∵EH∥OC ∴△AEH∽△ACO ∴
∴ ∴
∵ ∵△DBH与△BEH相似
∴∠BDH=∠EBH, 又∵∠BHD=∠BHE=90°∴△DBH∽△BEH
∴ ∴
∴（舍去正值）
∴
此题主要考查了二次函数与相似三角形等知识，熟练运用待定系数法、相似三角形是解题的关键.
21、（1）；（2）.
【分析】（1）由方程有两个实数根可知，代入方程的系数可求出m的取值范围.
（2）将等式左边展开，根据根与系数的关系，，代入系数解方程可求出m，再根据m的取值范围舍去不符合题意的值即可.
【详解】解：（1）方程有两个实数根
（2）由根与系数的关系，得：
，
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记公式是解题的关键.
22、（1），8，补图详见解析；（2）这次活动能顺利开展；（3）（两人都是女生）
【分析】（1）先用20除以40％求出样本容量，然后求出a， m的值，并补全条形统计图即可；
（2）先求出b的值，用b的值乘以1500，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1））20÷40％=50人，
a=18÷50×100%=36%，
m=50×16%=8，
（2）b=4÷50×100%=8%，（人）
∵∴这次活动能顺利开展.
（3）树状图如下：
由此可见，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有2种
∴（两人都是女生）.
此题考查了统计表和条形统计图的综合，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据题意，将y=1代入一次函数的解析式，求出x的值，得到A点的坐标，再利用反比例函数的坐标特征求出反比例函数的解析式；
（2）根据A、B点关于原点对称，可求出B点的坐标及线段AB的长度，设出平移后的直线解析式，根据平行线间的距离，由三角形的面积求出关于b的一元一次方程即可求解.
试题解析：（1）令一次函数y=﹣x中y=1，则1=﹣x，
解得：x=﹣6，即点A的坐标为（﹣6，1）．
∵点A（﹣6，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=﹣6×1=﹣12，
∴反比例函数的表达式为y=﹣．
（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．
设平移后的解析式为y=﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABC=S△ABF，
∵△ABC的面积为42，
∴S△ABF=OF•（xB﹣xA）=42，
由对称性可知：xB=﹣xA，
∵xA=﹣6，
∴xB=6，
∴b×12=42，
∴b=2．
∴平移后的直线的表达式为：y=﹣x+2.
24、（1）抛物线的解析式为y=x1-x-1
顶点D的坐标为 (, -).
（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；
（3）.
【解析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；
（1）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．
【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x1 +bx-1上
∴× (-1 )1 +b× (-1) –1 = 0
解得b =
∴抛物线的解析式为y=x1-x-1.
y=x1-x-1 =(x1 -3x- 4 ) =(x-)1-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（1）当x = 0时y = -1,
∴C（0，-1），OC = 1．
当y = 0时，x1-x-1 = 0， ∴x1 = -1, x1 = 4
∴B (4,0)
∴OA =1, OB = 4, AB = 5.
∵AB1 = 15, AC1 =OA1 +OC1 = 5, BC1 =OC1 +OB1 = 10,
∴AC1 +BC1 =AB1.
∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m=．
解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,
则，解得n = 1，.
∴.
∴当y = 0时，，
∴.
25、 (1)证明见解析；（2）
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，从而∠ODB=∠C，根据同位角相等两直线平行可证OD∥AC，进而可证明结论；
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF; ②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE.根据三角形和梯形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求解.
【详解】证明：（1）连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．
∵OD= OB= x，∠B=30°，
∴∠FOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴DF= x，
∴S△ODF= x·x= ，(0＜x≤)
当x=时，S△ODF最大，最大值为；
②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE．
∵AB=AC=10，∠B=30°，
∴BC=10，
作OH⊥BC，
∵OD= OB= x，∠B=30°，
∴BD= 2BH= x，
∴CD= 10－x，
∵∠C=30°，∠DEC=90°，
∴DE= (10－x)，CE= (10－x)=15－x，
∴AE=x－5，
∴S梯形AODE= (x－5+ x)· (10－x)= (－+12 x－20) (＜x＜10)
当x=6时，S梯形AODE最大，最大值为10；
综上所述，当x=6时，重合部分的面积最大，最大值为10．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面积公式，二次函数的性质，知识点比较多，难度比较大.熟练掌握切线的判定方法及二次函数的性质是解答本题的关键.
26、（1）中心；（2）如图，线段FI为此光源下所形成的影子. 见解析
【分析】（1）根据中心投影的定义“由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影”即可得；
（2）如图（见解析），先通过AB、CD的影子确认光源O的位置，再作立柱EF在光源O下的投影即可.
【详解】（1）由中心投影的定义得：此光线下形成的投影是：中心投影
故答案为：中心；
（2）如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.
本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键.
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