资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．80°
2．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两队身高一样整齐 B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐 D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
3．计算的结果等于（ ）
A．-6 B．6 C．-9 D．9
4．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有( )个
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=
6．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103
7．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
8．如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2
10．下面的函数是反比例函数的是( )
A． B． C． D．
11．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，即得到抛物线（ ）
A．y=-(x+2) 2+3 B．y=-(x-2) 2+3 C．y=-(x+2) 2-3 D．y=-(x-2) 2-3
12．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（ ）
A．5m B．2m C．5m D．10m
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知是一元二次方程的一个解，则的值是__________．
14．如图，在中，，于点，，，则_________；
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．
16．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高是20米，背水坡的坡角为30°，迎水坡的坡度为1∶2，那么坝底的长度等于________米（结果保留根号）
17．如图，在中，，，点为边上一点，作于点，若，，则的值为____.
18．若＝，则的值为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
_____
_____
_____
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）
（2）估算袋中白球的个数为________．
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率．
20．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．（8分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
22．（10分）如图，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出；
（2）与关于原点成中心对称，画出．
23．（10分）如图，在中，，.
（1）在边上求作一点，使得.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：为线段的黄金分割点.
24．（10分）阅读下面材料，完成（1），（2）两题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，求的值．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，就可以求出的值．”
……
老师：“把原题条件中的‘’，改为‘’其他条件不变（如图2），也可以求出的值．
（1）在图1中，①求证：；②求出的值；
（2）如图2，若，直接写出的值（用含的代数式表示）．
25．（12分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若满足，求的值.
26．（问题呈现）阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
（变式探究）如图3，若点M是的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】试题分析：∵弧长，∴圆心角．故选A．
2、B
【解析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵S甲=1.7，S乙=2.4，
∴S甲＜S乙，
∴甲队成员身高更整齐；
故选B.
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
3、D
【分析】根据有理数乘方运算的法则计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
本题考查了有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】
∵EF∥CD，ABCD是平行四边形
∴EF∥CD∥AB
∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA
∴△GDP∽△GAB
又EF∥AB
∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ∽△GAB
又∵ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB相似
故答案选择D.
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.
5、B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．
点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
6、C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×1．
故选C．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7、D
【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．
【详解】解：由图可得出，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
故选：D．
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．
8、D
【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
9、A
【解析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
10、A
【解析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
【详解】解：A、是反比例函数，正确；
B、是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是一次函数，错误．
故选：A．
本题考查了反比例函数的识别，容易出现的错误是把当成反比例函数，要注意对反比例函数形式的认识．
11、D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
【详解】抛物线向右平移个单位，得：，
再向下平移个单位，得：.
故选：.
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
12、B
【详解】解：由题意得：BC：AB=1：2，设BC=x，AB=2x，
则AC===x=10，
解得：x=2．
故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4
【分析】把x=-2代入x2+mx+4=0可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值.
【详解】∵是一元二次方程的一个解，
∴4-2m+4=0，
解得：m=4，
故答案为：4
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14、
【分析】根据相似三角形的判定得到△ABC∽△CBD，从而可根据其相似比求得AC的长．
【详解】∵，，，
∴∠BDC=∠BCA=90°，∠CBD+∠ABC=90°，BC=3，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=CB：BD，即AC： =3：2，
∴AC= ．
故答案为：．
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理.
15、17°
【详解】解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
16、
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线、，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解、求得线段、的长，然后与相加即可求得的长．
【详解】如图，作，，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形．
由题意得，米，米，，斜坡的坡度为1∶2，
在中，∵，
∴米．
在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度为1∶2，
∴，
∴米，
∴（米）．
∴坝底的长度等于米．
故答案为．
此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
17、
【分析】作辅助线证明四边形DFCE是矩形,得DF=CE,根据角平分线证明∠ACD=∠CDE即可解题.
【详解】解：过点D作DF⊥AC于F,
∵，
∴DF=3,
∵,
∴四边形DFCE是矩形,
CE=DF=3,
在Rt△DEC中,tan∠CDE==,
∵∠ACD=∠CDE,
∴=.
本题考查了三角函数的正切值求值,矩形的性质,中等难度, 根据角平分线证明∠ACD=∠CDE是解题关键.
18、4
【分析】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为：4.
此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）1；（1）．
【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案;
(2)设袋子中白球有x个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程,
【详解】（1）251÷1000=0.251;
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25,
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;
（2）设袋中白球为x个,
=0.25,
x=1．
答：估计袋中有1个白球．
（1）由题意画树状图得:
由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况．
所以P(两次都摸出白球)=．
本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率, 解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.
20、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由见解析.
【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；
（2）函数的对称轴为：x=1，则点D（1，4），则BE=2，DE=4，即可求解；
（3）△BFC的面积=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），
则BE＝2，DE＝4，
BD＝＝2；
（3）存在，理由：
△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，
解得：yF＝±3，
故：﹣x2+2x+3＝±3，
解得：x＝0或2或1，
故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21、（1）见解析；（2）﹣2或2
【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于1，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，由|x1﹣x2|＝即可求得a的值．
【详解】（1）证明：∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞1，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则，
∵，
∴,
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
本本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系.
22、答案见解析．
【分析】（1）将的三个顶点进行平移得到对应点，再顺次连接即可求解；
（2）找到△ABC的三个得到关于原点的对称点，再顺次连接即可求解．
【详解】（1）为所求；
（2）为所求．
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是根据题意找到各顶点的对应点．
23、（1）见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及AA定理，做AB的垂直平分线或∠ABC的角平分线都可，（2）利用相似三角形的性质得到，然后根据黄金分割的定义得到结论.
【详解】解：（1）作法一：如图1.
点为所求作的点.
作法二：如图2.
点为所求作的点.
（2）证明：∵，
∴.
根据（1）的作图方法，
得.
∴.
∴点为线段的黄金分割点.
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质及尺规作图，黄金分割的定义，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
24、（1）①证明见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，从而证出结论；
②过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用AAS证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用相似三角形的判定证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
【详解】证明：（1）①∵，
∴
∵，
∴，
∴
②如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵点是中点，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴
过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
此题考查的是相似三角形与全等三角形的综合大题，掌握构造全等三角形、相似三角形的方法、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
25、（1）；（2）a=-1
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即为方程根的判别式大于0，由此可得关于a的不等式，解不等式即可求出结果；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得关于a的方程，解方程即可求出a的值，再结合（1）的结论取舍即可.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，
∴的取值范围为：；
（2）∵是方程的两个根，∴，，
∵，∴，
∴，解得：，
∵，∴.
本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
26、（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）1或．
【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；
（变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；
（实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+2）＝1．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
【详解】（问题呈现）
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．
证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
（实践应用）
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝2．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
则CG1′+AB＝AG1，
所以AG1＝（6+2）＝1．
所以AD1＝1．
如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
所以AD的长为1或．
本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧.
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