资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是（ ）
A． B．1：3 C． D．1：2
2．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元 C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
3．用一块长40cm，宽28cm的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成的长方体的底面积为，设小正方形的边长为xcm，则列方程得（ ）
A．（20﹣x）（14﹣x）＝360 B．（40﹣2x）（28﹣2x）＝360
C．40×28﹣4x2＝360 D．（40﹣x）（28﹣x）＝360
4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )
A． B． C． D．
5．已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定
6．已知Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．以上都不对；
7．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
8．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
9．下列调查方式合适的是（ ）
A．对空间实验室“天空二号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
B．了解炮弹的杀伤力，采用全面调查的方式
C．对中央台“新闻联播”收视率的调查，采用全面调查的方式
D．对石家庄市食品合格情况的调查，采用抽样调查的方式
10．一个不透明的盒子有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有12 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若分式的值为0，则x的值为_______.
12．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的为____m．
13．已知正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的坐标是，则它们的另一个交点坐标为_________ ．
14．如图，已知是直角，在射线上取一点为圆心、为半径画圆，射线绕点顺时针旋转__________度时与圆第一次相切.
15．已知是方程 的两个实数根，则的值是____．
16．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为________.
17．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围
是 .
18．为准备体育中考，甲、乙两名学生各进行了10次1分钟跳绳的测试，已知两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个），乙的方差是100（个）.则这10次1分钟跳绳测试成绩比较稳定的学生是________ （填“甲”或“乙”）.
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：
解方程：
20．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．
（1）求证：△CFD∽△CAB；
（2）求证：四边形ABED为菱形；
（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．
21．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，设抛物线与轴交于两点(点在点左侧)，顶点为，若为等边三角形，求的值；
(3)过(其中)且垂直轴的直线与抛物线交于两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围．
22．（8分）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；
（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
根据以往所学的函数知识以及本题的条件，你能提出求解什么问题？并解决这些问题（至少三个问题）.
24．（8分）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于150 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？
25．（10分）超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；
（2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少元时w最大，最大为名少元？
26．（10分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了元．
（1）填表：
每天的销售量/台
每台销售利润/元
降价前
8
400
降价后
（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据题意，利用勾股定理可先求出某人走的水平距离，再求出这个斜坡的坡度即可．
【详解】解：根据题意，某人走的水平距离为：，
∴坡度；
故选：A.
此题主要考查学生对坡度的理解，在熟悉了坡度的定义后利用勾股定理求得水平距离是解决此题的关键．
2、B
【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．8450一共4位，从而8450=8.45×2．故选B．
考点：科学记数法．
3、B
【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm，根据长方体的底面积为列出方程即可．
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（28﹣2x）（40﹣2x）＝1．
故选：B．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题并建立方程．
4、D
【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，
则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是＝；
故选D．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5、C
【解析】由⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C.
本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
6、C
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．
【详解】如图：
由勾股定理得：AB= ，
所以cosB=，sinB= ，所以只有选项C正确；
故选：C．
此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
7、B
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
8、A
【解析】计算出方程的判别式为△＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【详解】方程x2+mx﹣1＝0的判别式为△＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.
9、D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：对空间实验室“天空二号”零部件的检查，采用全面调查的方式，A错误；
了解炮弹的杀伤力，采用抽样调查的方式，B错误；
对中央台“新闻联播”收视率的调查，采用抽样调查的方式，C错误；
对石家庄市食品合格情况的调查，采用抽样调查的方式，D正确，
故选：D．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的特点是本题的解题关键.
10、C
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值即可.
【详解】根据题意得：，
解得n=40，
所以估计盒子中小球的个数为40个.
故选C．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：x=-1．
故答案为：-1.
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
12、1．
【分析】由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴；
故答案为：1．
本题考查了解直角三角形的应用；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
13、 (-1，-2)
【分析】根据反比例函数图象的对称性得到反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，所以写出点关于原点对称的点的坐标即可．
【详解】∵正比例函数的图像与反比例函数的图像的两个交点关于原点对称，其中一个交点的坐标为，
∴它们的另一个交点的坐标是．
故答案为：．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，理解反比例函数与正比例函数的交点一定关于原点对称是关键．
14、60
【分析】根据题意，画出旋转过程中，与圆相切时的切线BA1，切点为D,连接OD，根据切线的性质可得∠ODB=90°，然后根据已知条件，即可得出∠OBD=30°，从而求出旋转角∠ABA1．
【详解】解：如下图所示，射线BA1为射线与圆第一次相切时的切线，切点为D,连接OD
∴∠ODB=90°
根据题意可知：
∴∠OBD=30°
∴旋转角：∠ABA1=∠ABC－∠OBD=60°
故答案为：60
此题考查的是切线的性质和旋转角，掌握切线的性质是解决此题的关键．
15、1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可．
【详解】解：∵是方程 的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．
16、
【分析】先证明△ABC为直角三角形，再根据正切的定义即可求解.
【详解】根据网格的性质设网格的边长为1，
则AB=,AC=,BC=
∵AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴=
故填：.
此题主要考查正切的求解，解题的关键是证明三角形为直角三角形.
17、且．
【解析】试题分析：∵，.
∴一元二次方程为.
∵一元二次方程有实数根，
∴且.
考点: （1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.
18、甲
【分析】根据方差的稳定性即可求解.
【详解】∵两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个），乙的方差是100（个）
故成绩比较稳定的学生是甲
故答案为甲.
此题主要考查数据的稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2），
【分析】根据三角函数性质和一元二次方程的概念即可解题.
【详解】（1）解：原式
（2）解：
，
，
本题考查了三角函数和一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉运算性质是解题关键.
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为1．
【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；
（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；
（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠CFD＝∠CAB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CAB；
（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BC＝3CD，
∴BC：CD＝3：1，
∵△CFD∽△CAB，
∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，
∴AB＝3DF，
∵AD＝3DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：
∵四边形ABED为菱形，
∴BD⊥AE，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵△CFD∽△CAB，
∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，
∴AB＝3DF＝5，
∵BC＝3CD＝9，
∴CD＝3，BD＝6，
∴OB＝3，
由勾股定理得：OA＝＝4，
∴AE＝8，
∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝1．
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
21、 (1)x=2；(2)；(3)或．
【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A,B的坐标，由（1）可得出顶点C的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
（3）分及两种情况考虑：①当时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．
【详解】(1)∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
(2)依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，即，
解得：，．
由(1)可知，顶点的坐标为．
∵，
∴．
∵为等边三角形，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
(3)分两种情况考虑，如图2所示：
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：．
本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.
22、（1）；（2）．
【分析】（1）由平行投影性质：平行长不变，可得A1B1=AB；
（2）过A作AH⊥BB1，在Rt△ABH中有AH=ABcos30°，从而可得A1B1的长度．
【详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．
本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点．
23、见解析
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：①求反比例函数的解析式
设反比例函数解析式为
将A(-2,1)代入得 k = -2
所以反比例函数的解析式为
②求B点的坐标. (或n的值）
将x=1代入得y=-2
所以B(1,-2)
③求一次函数解析式
设一次函数解析式为y=kx+b
将A(-2,1) B(1,-2) 代入得
解得
所以一次函数的解析式为y= -x-1
④利用图像直接写出当x为何值时一次函数值等于反比例函数值.
x= -2或x=1时
⑤利用图像直接写出一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围.
x<-2或0<x<1
⑥利用图像直接写出一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围.
-2<x<0或x>1
⑦求C点的坐标.
将y=0代入y= -x-1得x= -1
所以C点的坐标为（-1,0）
⑧求D点的坐标.
将x=0代入y= -x-1得y= -1
所以D点的坐标为（0,-1）
⑨求AOB的面积
=+=+=
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知反比例函数的性质.
24、（1）；（2）至少是0.4.
【分析】（1）设表达式为，取点A（0.5，120）代入解得k值即可.
（2）令y=150，代入表达式解得x的值，则由图可知，小于该x的值时是安全的.
【详解】（1）设表达式为，代入点A（0.5，120），解得：k=60.
则表达式为：
（2）把y=150代入，解得x=0.4
则当气体至少为0.4时才是安全的.
本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小.
25、（1）；（2）当x为160时w最大，最大值是2400元
【分析】（1）根据“销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”表示出减少的件数，销量y=50-减少的件数；
（2）根据“获利w=单利润×销量”可列出函数关系式，再根据二次函数的性质结合自变量x的取值范围即可得解.
【详解】解：（1）由题上涨的单价为x-140元
所以y=50-（x-140）÷2×1=
（2）根据题意得，w＝（x-100）（）＝
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜170时，w随x的增大而增大，
∵该种玩具每件利润不能超过进价的60%
∴
∴x≤160
∴当x＝160时，w最大＝2400，
答：当x为160时w最大，最大值是2400元．
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的性质.解决此题的关键为：①根据题中的数量关系列出函数关系式；②能根据二次函数的增减性以及自变量的取值范围求最值.
26、（1），；（2）1．
【分析】（1）利润=一台冰箱的利润×销售数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量会提高；
（2）根据每台的利润×销售数量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求利润的最大值．
【详解】解：（1）降价后销售数量为；
降价后的利润为：400-x，
故答案为：，；
（2）设总利润为y元，则
∵，开口向下
∴当时，最大
此时售价为（元）
答：每台冰箱的实际售价应定为1元时，利润最大．
本题考查了二次函数的实际应用中的销售问题，解题的关键是分析题意，找出关键的等量关系，列出函数关系式．
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