资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(3，1) B．（-3，1） C．(3，) D．（，3）
4．如图，四边形内接于, 为延长线上一点,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
6．式子有意义的的取值范围（ ）
A．x ≥4 B．x≥2 C．x≥0且x≠4 D．x≥0且x≠2
7．已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（）
A．8cm B．16cm C．32cm D．cm
8．一元二次方程x2－8x－1=0配方后为( )
A．(x－4)2=17 B．(x＋4)2=15
C．(x＋4)2=17 D．(x－4)2=17或(x＋4)2=17
9．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．
10．如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
11．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是；
④四边形ACEB的面积是1．
则以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知依据上述规律，则
________．
14．如图1是一种广场三联漫步机，其侧面示意图，如图2所示，其中，.
①点到地面的高度是__________．
②点到地面的高度是____________.
15．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则的面积为_____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是_____．
17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
18．如图，A是反比例函数图象上的一点，点B、D在轴正半轴上，是关于点D的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则的值为____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）综合与探究：
如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；
（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；
（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.
20．（8分）解方程：x2﹣6x+8＝1．
21．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．
22．（10分）已知点M(2，a)在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点M关于原点中心对称的点N在一次函数y＝﹣2x+8的图象上，求此反比例函数的解析式．
23．（10分）如图，为外接圆的直径，点是线段延长线上一点，点在圆上且满足，连接，，，交于点.
（1）求证：.
（2）过点作，垂足为，，，求证：.
24．（10分）如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.
（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）求证：；
（3）连接，试探究：在正方形绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标.
26．用一块边长为的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合起来(如图②)．若做成的盒子的底面积为时，求截去的小正方形的边长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．
【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，
故选：D．
本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．
2、B
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
3、A
【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
4、D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠ADC的度数，再求∠ADE的度数即可.
【详解】解：四边形内接于
-,
．
故选: ．
本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角.
5、A
【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【详解】∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．
故选A．
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
6、C
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：C．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值．
7、D
【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．
【详解】解：如图所示：
四边形ABCD是边长为4cm的正方形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==4cm．
所以对角线的长：AC=4cm．
故选D．
8、A
【解析】x2－8x－1=0，移项，得x2－8x=1，配方，得x2－8x+42=1+42，即（x－4）2=17.
故选A.
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
9、B
【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．
【详解】如图，连接CN．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2 ，BC＝AC＝3，
∵CM＝MB＝BC＝，
∵A1N＝NB1，
∴CN＝A1B1＝，
∵MN≥CN−CM，
∴MN≥，即MN≥，
∴MN的最小值为，
故选：B．
本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10、A
【解析】由性质性质得，∠D′=∠D=90°,∠4=α,由四边形内角和性质得∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以∠4=90°-70°=20°.
【详解】如图,因为四边形ABCD为矩形,
所以∠B=∠D=∠BAD=90°,
因为矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,
所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,
因为∠1=∠2=110°,
所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
所以∠4=90°-70°=20°,
所以α=20°.
故选：A
本题考核知识点：旋转角. 解题关键点：理解旋转的性质.
11、C
【解析】试题分析：一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
因此，∵函数y=x﹣1的，，∴它的图象经过第一、三、四象限．
根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限．
综上所述，符合上述条件的选项是C．故选C．
12、A
【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；
②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；
③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，CD=2 ，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2 ；
④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．
【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=
∴CB=
∴AB=
∴四边形ACEB的周长是10+，故③错误；
④四边形ACEB的面积： ，故④错误，
故选：A．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、.
【解析】试题解析：等号右边第一式子的第一个加数的分母是从1开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是2，结果的分子是2，分母是1×3=3；
等号右边第二个式子的第一个加数的分母是从2开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是3，结果的分子是3，分母是2×4=8；
等号右边第三个式子的第一个加数的分母是从3开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是4，结果的分子是4，分母是3×5=1．
所以a99=.
考点：规律型：数字的变化类．
14、
【分析】①过点A作,垂足为F，得出，BF=40,利用勾股定理可得出AF的长，即A到地面的高度
②过点D作，垂足为H，可得出,，可求出AH的长度，从而得出D到底面的高度为AH+AF.
【详解】解：过点A作,垂足为F，过点D作，垂足为H，如下图：
①∵，∴，BF=40cm
∴
∴A到地面的高度为：.
②∵
∴,
∴,
∴
∴AH=10,
∴D到底面的高度为AH+AF=(10+)cm.
本题考查的知识点是等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是弄清题意，结合题目作出辅助线，再利用相似三角形性质求解.
15、1
【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得CF的长，又根据线段的和差可得DF的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得出DE的长，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】四边形ABCD是正方形，
，即
在和中，
，即
解得
又，即
，即
解得
则的面积为
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．
16、
【解析】由于函数y=（x-h）1的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，故可先分别得出点A和点B的坐标，因为这两个点为抛物线与与正方形ABCD有公共点的临界点，求出即可得解．
【详解】∵点O是边长为1的正方形ABCD的中心，
∴点A和点B坐标分别为（1，1）和（-1，1），
∵函数y=（x-h）1的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，
∴其图象与正方形ABCD有公共点的临界点为点A和点B，
把点B坐标代入y=（x-h）1，
得1=（-1-h）1
∴h=0（舍）或h=-1；
把点A坐标代入y=（x-h）1，
得1=（1-h）1
∴h=0（舍）或h=1．
函数y=（x-h）1的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是-1≤h≤1．
故答案为-1≤h≤1．
本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．
17、且
【解析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．
【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且，
故答案为：且．
本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
18、8
【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出，进而得出假设BD=x，AE=4x，D0=3x，AB=y，根据△ABD的面积为1，求出xy=2即可得出答案．
【详解】过A作AE⊥x轴,
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1:3，
∴ ，
∴OE=AB，
∴，
设BD=x，AB=y
∴DO=3x，AE=4x，C0=3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy=1，
∴xy=2，
∴AB⋅AE=4xy=8，
故答案为：8.
此题考查位似变换，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于作辅助线.
三、解答题（共78分）
19、（1），，；（2）点的坐标为；（3）
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设点，用三角形的面积公式得到求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m-1）2+9，AB2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交与，两点
∴，.
∴，.
∴，.
∵点在反比例函数上，
∴.
∴反比例函数的函数表达式为.
（2）设点，
∵，∴.
∴.
∵，∴.
∴，
∵
∴.
解得：，
∴.
∴点的坐标为.
（3）设出点M坐标为（m,0），
∴MA2=（m-1）2+9，AB2=（1+3）2+（3+1）2=32，
∵是以为顶角的等腰三角形
∴AM=AB,
故（m-1）2+9=32
解得m=或m=（舍去）
∴
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.
20、x1＝2 x2＝2．
【分析】应用因式分解法解答即可.
【详解】解：x2﹣6x+8＝1
（x﹣2）（x﹣2）＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2 x2＝2．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
21、（1） ；（2）存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q的坐标或.
【解析】（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；
（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
（3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BCA，②当△BQP∽△BCA．
【详解】解：（1）由已知得，
解得
所以，抛物线的解析式为；
（2）∵A、B关于对称轴对称，如下图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，
∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）如上图，设对称轴与x轴交于点D．
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，
直线BC：，
由二次函数可得，对称轴直线，
∴，
①当△BPQ∽△BCA，
，
，
，
，
②当△BQP∽△BCA，
，
，
，
，
，
综上，求得点Q的坐标或
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键．
22、y＝﹣
【分析】由点M与点N关于原点中心对称，可表示出点N的坐标，代入一次函数的关系式，可求得a的值，确定点M的坐标，再代入反比例函数的关系式求出k的值即可．
【详解】∵点M(2，a)，点M与点N关于原点中心对称，
∴N(﹣2，﹣a)代入y=﹣2x+8得：
﹣a=4+8，
∴a=﹣12，
∴M(2，﹣12)代入反比例函数y=得，
k=﹣24，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入相应的函数关系式是常用的方法．
23、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
设圆半径为，在中，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，又为中点，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴.
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM＝PE．
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得，于是可判断△AMB为等腰直角三角形；
（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+4，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=2，进而求得△EFM的周长的最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，
．
是弧的中点，
．
，
为等腰直角三角形．
（2）证明：连接，
由（1）得：．
，
．
，
，
．
在和中，
，
．
．
（3）解：的周长有最小值．
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
的周长．
当时，最小，此时,
的周长的最小值为．
本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题关键．
25、（1）（2）
【解析】（1）先求出B的坐标，根据系数k的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；
（2）根据题意可，求出，再设，求出t，即可解答
【详解】（1），
反比例函数的表达式为
（2）
设
此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标
26、截去的小正方形长为
【分析】根据题意设截去的小正方形长为，并由题意列方程与解出方程即可.
【详解】解:设截去的小正方形长为，依题意列方程
解得:(舍去)
答:截去的小正方形长为.
本题主要考查正方形的性质和一元二次方程的应用，只要理解题意并根据题干所给关系列出方程即可作出正确解答．
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