资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB是的直径，点C，D是圆上两点，且＝28°，则＝（ ）
A．56° B．118° C．124° D．152°
2．小丽参加学校“庆元旦，迎新年演唱比赛，赛后小丽把七位评委所合的分数进行处理，得到平均数、中位数，众数，方差，如果把这七个数据去掉一个最高分和一个最低分，则数据一定不发发生变化的是 （ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
3．在-2,-1,0,1这四个数中，最小的数是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
4．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：
…
－3
－2
－1
0
1
…
…
－6
0
4
6
6
…
容易看出，是它与轴的一个交点，那么它与轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于x的方程是一元二次方程的有（ ）
①ax2+bx+c=0 ②x2=0 ③ ④
A．②和③ B．①和② C．③和④ D．①和④
6．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2
C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞2
7．如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( )
A． B．12 C．14 D．21
9．点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．中位数是2，众数是3
C．中位数是4，众数是2 D．中位数是3，众数是4
12．如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．学生晓华5次数学成绩为86，87，89，88，89，则这5个数据的中位数是___________.
14．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
15．在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为__________.
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝_____．
17．有三张除颜色外，大小、形状完全相同的卡片，第一张卡片两面都是红色，第二张卡片两面都是白色，第三张卡片一面是红色，一面是白色，用三只杯子分别把它们遮盖住，若任意移开其中的一只杯子，则看到的这张卡片两面都是红色的概率是__________.
18．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=1．求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
20．（8分）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD．
(1)判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.
21．（8分）已知为实数，关于的方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若，试求的值．
22．（10分）如图，己知抛物线的图象与轴的一个交点为另一个交点为，且与轴交于点
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线在轴下方图象上的－一动点，过点作轴交直线于点，当的值最大时，求的周长．
23．（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
24．（10分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
25．（12分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ．
（2）小明和小颖用转盘做游戏，每人转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由．
26．如图，在四边形中，，点为的中点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求线段的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半可得∠BOC的度数，再根据补角性质求解.
【详解】∵∠CDB=28°，
∴∠COB=2∠CDB=2×28°=56°,
∴∠AOC=180°-∠COB=180°-56°=124°.
故选：C
本题考查圆周角定理，根据定理得出两角之间的数量关系是解答此题的关键.
2、D
【分析】根据中位数的定义即位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数进行分析即可．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：D．
本题考查统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．
3、A
【解析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大值越小即可求解.
【详解】解：在、、、这四个数中，
大小顺序为：，
所以最小的数是.
故选A.
此题考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质及数轴可以解决问题.
4、C
【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】∵抛物线经过（0，6）、（1，6）两点，
∴对称轴x＝＝；
点（−2，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
故选C.
本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出其对称轴.
5、A
【解析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】①ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程；
②x2=0符合一元二次方程的定义；
③符合一元二次方程的定义；
④是分式方程．
综上所述，其中一元二次方程的是②和③．
故选A．
本题考查了一元二次方程的定义，利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
6、D
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，∴点B的横坐标为-1，
∵由函数图象可知，当-1＜x＜0或x＞1时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y1时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1．
故选：D．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y1时x的取值范围是解答此题的关键．
7、A
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．
故选A．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图
8、A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
9、B
【解析】把点M代入反比例函数中，即可解得K的值.
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得k=3.
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.
10、D
【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．
【详解】如图，位似中心为点D．
故选D．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
11、A
【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：
2，2，2，3，5，6，8，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了三次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是2；
故选：A.
此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
12、C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC.
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故选C.
此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据中位数的概念求解即可．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：86，87，1，89，89，
则这5个数的中位数为：1．
故答案为：1．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14、-1
【解析】设另一根为，则1·= -1 ，
解得，=－1，
故答案为－1．
15、
【分析】先求出第一个正方形ABCD的边长，再利用△OAD∽△BA1A求出第一个正方形的边长，再求第三个正方形边长，得出规律可求出第5个正方形的边长.
【详解】∵点的坐标为，点的坐标为
∴OA=3，OD=4，
∴
∵∠DAB=90°
∴∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵∠DAO+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BAA1
∴△OAD∽△BA1A
∴即
∴
∴
同理可求得
得出规律，第n个正方形的边长为
∴第5个正方形的边长为.
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，此题的关键是根据计算的结果得出规律.
16、
【分析】过点A作AE⊥BD，由AAS得△AOE≌△COD，从而得CD＝AE＝3，由勾股定理得DB＝4，易证△ABE∽△BCD，得，进而即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO，∠COD＝∠AOE，
∴△AOE≌△COD（AAS）
∴CD＝AE＝3，
∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，
∴DB＝＝4，
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴，
∴，
∴AB＝．
故答案为：．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
17、
【分析】根据概率的相关性质，可知两面都是红色的概率=两面都是红色的张数/总张数.
【详解】P（两面都是红色）= .
本题主要考察了概率的相关性质.
18、．
【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．
【详解】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，
∵PE⊥CP
∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°
∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°
∵△APE∽△DCP
∴，
即x（3﹣x）＝2y，
∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣GXdjs4436236（x﹣）2+，
∴当x＝时，y的最大值为，
∴AE的最大值＝，
∵AK＝KC，EO＝OC，
∴OK＝AE＝，
∴OK的最大值为，
由题意点O的运动路径的长为2OK＝，
故答案为：．
考查了轨迹、矩形的性质、三角形的中位线定理和二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
三、解答题（共78分）
19、见解析
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t-3）2≥1，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根．
【详解】证明：△=[-（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）
=t2﹣6t+9=（t﹣3）2，
∴对于任意实数t，都有（t﹣3）2≥1，
∴方程都有实数根．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当△≥1时，方程有实数根” ．
20、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．
【详解】解：（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，
在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=（x+1）2，
解得x=1，
∴线段BD的长是1．
21、（1）.（2）-3.
【分析】（1）把方程化为一般式，根据方程有两个实数根，可得，列出关于的不等式，解出的范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得， ，再将原等式变形为 ，然后整体代入建立关于的方程，解出值并检验即可.
【详解】（1）解：原方程即为．
，
∴ ． ∴．
∴；
（2）解：由根系关系，得，
∵,
∴
∴．即．
解得，或
∵
∴.
故答案为（1）.（2）-3.
本题考查一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．
22、（1），；（2）
【分析】（1）直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；
（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐标即可求出周长；
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
将，两点的坐标代入，
得，，
所以直线的解析式为；
将，两点的坐标代入，
得，，
所以抛物线的解析式为；
（2）如图1，设，，则，
，
当时，有最大值4；
取得最大值时，，
，即．
，即，
，
可得，，
的周长．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的周长，三角形的面积，方程组的求解，解本题的关键是建立的函数关系式．
23、（1）2、45、20；（2）72；（3）
【解析】分析：（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；
（2）用360°乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
详解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，
∴a=40×5%=2，b=×100=45，c=×100=20，
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，
（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=．
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
24、河宽为17米．
【解析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.
【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠CBA＝∠EDA＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴∆ABC∽∆ADE，
∴，
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
∴，
∴AB＝17，
即河宽为17米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.
25、（1）；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况，得出这两个数字之和是奇数与偶数的情况，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为：；
（2）不公平，理由如下：
列表如下：
1
2
1
1
2
1
4
2
1
4
5
1
4
5
6
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为，
由≠知此游戏不公平．
此题考查的是求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．
26、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）由得出，从而有，等量代换之后有，再加上即可证明相似；
（2）由相似三角形的性质可求出AE的长度，进而求出AB的长度，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，得出，从而求出CF的长度，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）
（2）过点D作DF⊥BC于点F
∵点为的中点
∵，，
，DF⊥BC
∴四边形ABFD是矩形
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
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