资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1．将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C的对应点C'在线段AB上．点B'是点B的对应点，连接B'B，则线段B'B的长为( )
A．2 B．3 C．1 D．
3．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．某次数学纠错比赛共有道题目，每道题都答对得分，答错或不答得分，全班名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
成绩（分）
人数
则全班名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．，70 D．，
5．在中，，，则（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
6．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
7．已知⊙O的半径为4，圆心O到弦AB的距离为2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
8．如图所示，不能保证△ACD∽△ABC的条件是( )
A．AB:BC=AC:CD B．CD:AD=BC:AC C．CD2=ADDC D．AC2=ABAD
9．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点B的坐标为（﹣5，1），则点D的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（6，﹣2） C．（8，﹣2） D．（10，﹣2）
10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
11．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象的开口向下 B．该函数图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．该函数的图象与轴有两个不同的交点
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D两点分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上，若▱ABCD的面积为4，则k的值为：_____．
15．如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的三分之一，若，则点平移的距离是__________
16．若是关于的一元二次方程，则__________．
17．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是______．
18．如图，在中，，于，已知，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？
20．（8分）某活动小组对函数的图象性质进行探究，请你也来参与
（1）自变量的取值范围是______；
（2）表中列出了、的一些对应值，则______；
（3）依据表中数据画出了函数图象的一部分，请你把函数图象补充完整；
0
1
2
3
3
0
0
3
（4）就图象说明，当方程共有4个实数根时，的取值范围是______．
21．（8分）平面直角坐标系中，函数（x>0），y=x-1，y=x-4的图象如图所示，p（a , b）是直线上一动点，且在第一象限.过P作PM∥x轴交直线于M，过P作PN∥y轴交曲线于N.
（1）当PM=PN时，求P点坐标
（2）当PM > PN时，直接写出a的取值范围.
22．（10分）（1）计算：|﹣|+cos30°﹣（﹣）﹣1﹣+（π﹣3）0
（2）若，求•（a﹣b）的值．
23．（10分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的图形，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，放回后洗匀再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A、B、C、D表示）；
（2）求两次摸出的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率．
24．（10分）用配方法解下列方程.
(1) ;
(2) .
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
26．十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.
(1)五届艺术节共有________个班级表演这些节日，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为________；
(2)补全折线统计图；
(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用，，，表示).利用树状图或表格求出该班选择和两项的概率.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据相似多边形的定义，即可得到答案.
【详解】解：A、所有的菱形都相似，错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的等边三角形都相似，正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确；
故选：A.
本题考查了相似多边形的定义，熟练掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
2、D
【分析】先由勾股定理求出AB，然后由旋转的性质，得到，，得到，即可求出.
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1．
∴，
由旋转的性质，得，，，
∴，
在中，由勾股定理，得
；
故选：D.
本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和勾股定理，正确求出边的长度.
3、D
【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
4、A
【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；
则中位数是75；
70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5、C
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求出∠C，∠A的度数，然后根据三角形的内角和公式求出∠B的大小．
【详解】∵，，∴∠C=30°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及三角形的内角和公式．
6、C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．
【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=10°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=1．
故选C．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
7、D
【分析】根据题意作出图形，利用三角形内角和以及根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行分析求解.
【详解】解：如图，
∵OH⊥AB，OA=OB=4，
∴∠AHO=90°，
在Rt△OAH中，sin∠OAH=
∴∠OAH=30°，
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，∠ADB=180°-∠ACB=120°（圆内接四边形的性质），
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°．
故选：D．
本题考查圆周角定理，圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8、D
【分析】对应边成比例，且对应角相等，是证明三角形相似的一种方法．△ACD和△ABC有个公共的∠A，只需要再证明对应边成比例即满足相似，否则就不是相似．
【详解】解：图中有个∠A是公共角，只需要证明对应边成比例即可，
△ACD中三条边AC、AD、DC分别对应的△ABC中的AB、AC、BC．
A、B、C都满足对应边成比例，
只有D选项不符合．
故本题答案选择D
掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
9、A
【分析】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H，根据位似图形的概念得到△ABC∽△EDC，根据相似是三角形的性质计算即可．
【详解】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H，
则BG∥DH，
∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴＝，
由题意得，CG＝3，BG＝1，
∵BG∥DH，
∴△BCG∽△DCH，
∴＝＝＝，即＝＝，
解得，CH＝6，DH＝2，
∴OH＝CH﹣OC＝4，
则点D的坐标为为（4，﹣2），
故选：A．
本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
10、A
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选A．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键．
11、D
【分析】根据切线长定理得出四边形APBC是菱形，再根据菱形的性质即可求解.
【详解】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，
∴PA＝PB
∵四边形APBC是平行四边形，
∴四边形APBC是菱形，
∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°
∴∠CAB＝∠PAC
＝70°
故选D．
此题主要考查圆的切线长定理，解题的关键是熟知菱形的判定与性质.
12、D
【分析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：A、由于y=x2-4x-3中的a=1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．
B、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意．
C、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．
D、由y=x2-4x-3知，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，则该抛物线与x轴有两个不同的交点，故本选项符合题意．
故选：D．
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】共个数，大于的数有个，
（大于）；
故答案为．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
14、2
【分析】连接OA、OD，如图，利用平行四边形的性质得AD垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△ODE，所以S△OAD＝+，，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2，即可求出k的值．
【详解】连接OA、OD，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD垂直y轴，
∴S△OAE＝×|﹣3|＝，S△ODE＝×|k|，
∴S△OAD＝+，
∵▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2．
∴3+|k|＝2，
∵k＞0，
解得k＝2，
故答案为2．
此题考查平行四边形的性质、反比例函数的性质，反比例函数图形上任意一点向两个坐标轴作垂线构成的矩形面积等于，再与原点连线分矩形为两个三角形，面积等于.
15、
【分析】根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为三分之一，所以可以求出，进而可求答案.
【详解】
∵把沿边平移到
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即点C平移的距离是
故答案为.
本题考查的是相似三角形的性质与判定，能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.
16、1
【分析】根据一元二次方程的定义可知的次数为2，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：m=1，
故答案为：1．
本题重点考查一元二次方程定义，理解一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（1）是整式方程；其中理解特点（2）是解决这题的关键．
17、或
【分析】先求出点A（-4,0），B（0，-3），利用勾股定理得到AB=5，过点P作PC⊥AB于点C，则PC=1，证明△PAC∽△BAO，得到，求出PA=，再分点P在点A的左侧和右侧两种情况分别求出OP，即可得到点P的坐标.
【详解】令中x=0，得y=-3；令y=0，得x=-4，
∴A（-4,0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
过点P作PC⊥AB于点C，则PC=1，
∴∠PCA=∠AOB=90°，
∵∠PAC=∠BAO，
∴△PAC∽△BAO，
∴,
∴，
∴PA=，
当点P在点A左侧时，PO=PA+OA=+4=，∴点P的坐标为（-，0）；
当点P在点A的右侧时，PO=OA-PA=4-=，∴点P的坐标为（-，0），
故答案为：或.
此题考查一次函数与x轴、y轴的交点坐标，勾股定理，圆的切线的性质定理,相似三角形的判定及性质，解题中注意运用分类讨论的思想.
18、
【分析】根据，可设AC=4x，BC=5x，利用勾股定理可得AB=3x，则.
【详解】在Rt△ABC中，
∵
∴设AC=4x，BC=5x
∴
∴
故答案为：.
本题考查求正切值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．
【分析】将法国新总统设为x岁，然后用含x的代数式分别表示出法国第一夫人，美国新总统，美国第一夫人，然后用法国第一夫人减去美国第一夫人的年龄即可得出答案.
【详解】设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，
故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．
故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．
本题主要考查代数式的应用，掌握列代数式的方法是解题的关键.
20、（1）全体实数；（2）1；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）自变量没有限制，故自变量取值范围是全体实数；
（2）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（3）描点、连线即可得到函数的图象；
（4）根据函数的图象即可得到a的取值范围是-1＜a＜1．
【详解】（1）自变量没有限制，故自变量取值范围是全体实数；
（2）当x=-2时，
∴m=1
（3）如图所示
（4）当方程共有4个实数根时，y轴左右两边应该都有2个交点，也就是图象x轴下半部分，此时-1＜a＜1；
故答案为：（1）全体实数；（2）1；（3）见解析；（4）．
本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
21、（1）（2，1）或（，）；（2）
【分析】（1）根据直线与直线的特征，可以判断为平行四边形，且，再根据坐标特征得到等式=3 ，即可求解；
（2）根据第（1）小题的结果结合图象即可得到答案.
【详解】（1）∵直线与轴交点，直线与轴交点 ，
∴，
∵直线 与直线平行，
且∥轴，
∴为平行四边形，
∴，
∵∥轴， 在的图象上，
∴ ，
∵在直线上 ，
∴ ，
∵ ，
∴=3 ，
解得：或，
（2）如图，
∵或， ，
当点在直线和区间运动时，,
∴
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
22、（1）﹣；（2）
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）已知等式整理得到a＝2b，原式约分后代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式
；
（2）已知等式整理得：，即，代入，
则原式．
此题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）用列表法或画出树状图分析数据、列出可能的情况即可．
（2）A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形，C是轴对称图形，不是中心对称图形．列举出所有情况，让两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（2）从表中可以得到，两次摸牌所有可能出现的结果共有16种，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有9种．
故所求概率是．
考点：1．列表法与树状图法；2．轴对称图形；3．中心对称图形．
24、 (1); (2).
【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：，
，
即，
或，
原方程的根为：.
，
，
，
，即，
或，
原方程的根为：.
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.
25、（1）60°;(2)证明略;(3)
【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．
【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为==．
本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.
26、 (1)40，7，81°；(2)见解析；(3).
【解析】（1）根据图表可得，五届艺术节共有：；根据中位数定义和圆心角公式求解；（2）根据各届班数画图；（3）用列举法求解；
【详解】解：(1) 五届艺术节共有：个，第四届班数：40×22.5%=9，第五届40=13，第一至第三届班数：5，7，6，故班数的中位数为7，
第四届班级数的扇形圆心角的度数为：3600×22.5%=81°；
(2)折线统计图如下；.
(3)树状图如下.
所有情况共有12种，其中选择和两项的共有2种情况，
所以选择和两项的概率为.
考核知识点：用树状图求概率.从图表获取信息是关键.
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