资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径r=6，若d是方程x2–x–6=0的一个根，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．不能确定
4．如图，是矩形内的任意一点，连接、、、, 得到 , , , ,设它们的面积分别是，，，， 给出如下结论:①②③若，则④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
6．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为( )
A．-2 B．2 C．-1 D．1
7．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程 x2 ＋x＝0的根是 ( )
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
9．对于非零实数，规定，若，则的值为
A． B． C． D．
10．二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
12．已 知二次函数 y =ax2－bx＋2(a ≠0) 图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 _________；若a＋b 的值为非零整数，则 b 的值为 _________．
13．如果3是数和6的比例中项，那么__________
14．如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路的宽为_______
15．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB= 2 ，则此三角形移动的距离AA′=_______．
16．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 .
17．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A的半径为_____cm．
18．二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The 2nd China International lmport Expo）在上海国家会展中心开幕.本次进博会将共建开放合作、创新共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当.小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：.中国馆；.俄罗斯馆；.法国馆；.沙特阿拉伯馆.他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同.
（1）求小滕选择.中国馆的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率.
20．（6分）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
21．（6分）某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．
（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
22．（8分） “道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边处有“车速检测仪”，测得该车从北偏西的点行驶到北偏西的点，所用时间为．
（1）试求该车从点到点的平均速度(结果保留根号)；
（2）试说明该车是否超速．
23．（8分） “共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士(依次记为、、、).为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上、、、四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料，并做成小报.
(1)班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为______.
(2)请用画树状图或列表的方法求小明和小华查找不同院士资料的概率.
24．（8分）如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，如图2.
①求的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
25．（10分）解一元二次方程：x2﹣5x+6＝1．
26．（10分）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
求一次函数的表达式；
若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解．
【详解】解：∵圆内接正多边形的内角是，
∴该正多边形每个外角的度数为，
∴该正多边形的边数为：，
故选：A．
本题考查圆与正多边形，掌握多边形外角和为360°是解题的关键．
2、C
【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．
【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm2，
∴圆锥的底面半径为2cm，
∴底面周长为4π，
圆锥的高为4cm，
∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，
设侧面展开图的圆心角是n°，
根据题意得：=4π，
解得：n=1．
故选：C．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
3、B
【分析】先解方程求得d，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系即可解题．
【详解】解方程：x2–x–6=0，即：,解得，或(不合题意，舍去)，
当时，，则直线与圆的位置关系是相交；
故选：B
本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离和半径的大小关系．没有交点，则；一个交点，则；两个交点，则．
4、D
【分析】根据三角形面积公式、矩形性质及相似多边形的性质得出：
①矩形对角线平分矩形，S△ABD=S△BCD,只有P点在BD上时，S₁ +S₂ =S₃ +S4；
②根据底边相等的两个三角形的面积公式求和可知，S₁+S₃=矩形ABCD面积，同理S₂+S4=矩形ABCD面积，所以S₁+S₃= S₂+S4；
③根据底边相等高不相等的三角形面积比等于高的比来说明即可；
④根据相似四边形判定和性质，对应角相等、对应边成比例的四边形相似，矩形AEPF∽矩形ABCD推出,点P在对角线上．
【详解】
解：①当点P在矩形的对角线BD上时，S₁ +S₂ =S₃ +S4.但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立。故①不一定正确;
②∵矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边，这两三角形的底相等，高的和为AB,
∴S ₁+S ₃=S矩形ABCD;
同理可得S ₂+S4=S矩形ABCD ,
∴②S₂+S4=S₁+S₃正确;
③若S ₃=2S ₁,只能得出△APD与△PBC高度之比是，S₂、S4分别是以AB、CD为底的三角形的面积，底相等，高的比不一定等于，S4=2S2不一定正确 ;故此选项错误;
④过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,F.
若S1=S2,.则AD·PF=AB·PE
∴△APD与△PAB的高的比为：
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA =90°
∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD
∴
∴P点在矩形的对角线上，选项④正确．
故选：D
本题考查了三角形面积公式的应用，相似多边形的判定和性质，用相似多边形性质对应边成比例是解决本题的难点．
5、C
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．
6、D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，
解得b=1．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
7、B
【解析】在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【详解】在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,BC=k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中,CD=CB+BD=k+2k，
则tan75°=tan∠CAD===2+，
故选B
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.
8、B
【分析】把一元二次方程化成x(x+1)=0，然后解得方程的根即可选出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2+x=0，
∴x(x+1)=0，
∴x1=0，x2=−1，
故选B.
本题考查了因式分解法求一元二次方程的根.
9、A
【解析】试题分析：∵，∴．
又∵，∴．
解这个分式方程并检验，得．故选A．
10、B
【解析】分析：据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标；
解：∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+3，
∴其图象的顶点坐标是：（1，3）；
故选A．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵，且，，∴，
∵，，∴，
∴四边形是矩形.
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，∴的最小值为；
故答案为：．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型．
12、
【分析】根据题意可得a<0，再由可以得到b>0，把（1，0）函数得a−b+2=0，导出b和a的关系，从而解出a的范围，再根据a＋b 的值为非零整数的限制条件，从而得到a,b的值.
【详解】依题意知a<0, ，a−b+2=0，
故b>0，且b=a+2，a=b−2，a+b=a+a+2=2a+2，
∴a+2>0，
∴−2<a<0，
∴−2<2a+2<2，
∵a+b的值为非零实数，
∴a+b的值为−1，1，
∴2a+2=−1或2a+2=1，
或 ，
∵b=a+2，
或
13、
【分析】根据比例的基本性质知道，在比例里两个外项的积等于两个内项的积．
【详解】因为，在比例里两个外项的积等于两个内项的积，
所以，6x=3×3，
x=9÷6，
x=，
故答案为：．
本题考查了比例中项的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
14、1
【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设道路宽为x米，
根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：
，
解得：x1=1，x2=1．
∵1＞20，
∴x=1舍去．
答：道路宽为1米．
本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15、
【分析】由题意易得阴影部分与△ABC相似，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方可求解．
【详解】解：
把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，，
它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，AB=2，
即，；
故答案为．
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
16、0或－1．
【解析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：
当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点．
当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即．
综上所述，若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或－1．
17、1．
【分析】由切线性质知AD⊥BC，根据AB＝AC可得BD＝CD＝AD＝BC＝1．
【详解】解：如图，连接AD，
则AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝AD＝BC＝1，
故答案为：1．
本题考查了圆的切线性质，解题的关键在于掌握圆的切线性质.
18、
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
【详解】抛物线的对称轴是x＝1，
则当x＝1时，y＝1−2−3＝−1，是最小值；
当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值．
的最大值和最小值的和是-1
故答案为：-1．
本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）.
【分析】（1）由于每个国家馆被选择的可能性相同，即可得到中国馆被选中的概率为；
（2）画树状图列出所有可能性，即可求出概率.
【详解】.解：（1）在这四个国家馆中任选一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同
∴在这四个国家馆中小滕选择.中国馆的概率是；
（2）画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的结果有4种
∴小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的概率.
本题考查了树状图求概率，属于常考题型.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB=AC．
（2）连接OD；
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定
21、（1）x的值为90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
【解析】（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可；
（2）利用每件利润×销量＝利润，先用x表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）由题意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不合题意舍去），
答：x的值为90；
（2）设利润为w元，根据题意可得：
w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]
＝﹣2x2+380x﹣15600
＝﹣2（x﹣95）2+2450，
故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式.
22、（1）；（2）没有超过限速．
【分析】（1）分别在、中，利用正切求得、的长，从而求得的长，已知时间路程则可以根据公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
．
小汽车从到的速度为．
（2），
又，
小汽车没有超过限速．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．．
23、 (1)；(2).
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）先画出树状图或列出表格，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：(1)1÷4=；
(2)画出树状图如下：
或列表如下：
小明
小华
由上可知小明和小华随机各抽取一次卡片，一共有16种等可能情况，其中标号不同即查找不同院士资料的情况有12种，即，，，，，，，，，，，
∴
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可.，即.
24、（1）见解析；（2）①，②.
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC⊥BF，再根据CG∥FB即可证得结论；
（2）①根据已知条件易证得是等边三角形，利用三角函数可求得的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；
②易证得，利用扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）连接.
是的中点，
.
又，
.
，
.
是的切线.
（2）①，
∴.
，
.
∴是等边三角形.
，，
又的半径为，
在中，,
∵BF⊥OC，CD⊥OB，BF与CD相交于E，点E是等边三角形OBC的垂心，也是重心和内心，
∴.
②∵AF∥BC，
∴
∴.
要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得的长是解题的关键.
25、x1＝2，x2＝2
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x2﹣5x+6＝1，
∴(x﹣2)(x﹣2)＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2，x2＝2．
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
26、（1）；（2）销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
【分析】（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题.
【详解】解：根据题意得，
解得．
所求一次函数的表达式为．
（2）
，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
又因为获利不得高于45%，60
所以，
∴当时，．
∴当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.
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