资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．5
3．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞1；
②b2﹣4ac＞1；
③9a﹣3b+c=1；
④若点（﹣1.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜1．
其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
7．如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
11．如图，我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．方程的两根分别为（ ）
A．＝－1，＝2 B．＝1，＝2 C．＝―l，＝－2 D．＝1，＝－2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
14．请将二次函数改写的形式为_________________.
15．如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为_____．
16．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_____．
17．一支反比例函数，若，则y的取值范围是_____．
18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为，且经过点与轴交于点，连接，，.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上点与点之间的一动点.
①若，求点的坐标.
②如图②，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交于点，连接延长交于点.试说明为定值.
20．（8分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.
（1）求点，，的坐标；
（2）将绕的中点旋转，得到.
①求点的坐标；
②判断的形状，并说明理由.
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似，若存在，请写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（8分）如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=,∠B=60°,求△ABC的面积
22．（10分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
23．（10分）如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2＝BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．
24．（10分）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y2=k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（温馨提示：平面上有任意两点M（x1，y1）、N（x2，y2），它们连线的中点P的坐标为（ ））（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣＞0的解集．
26．一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．
（1）求任意摸出一球是白球的概率；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定的符号，进行计算从而求解．
【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限，
所以，解得.
故选：D.
本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数，当 k＞0时，反比例函数图象在一、三象限；当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内．
2、C
【解析】分析：连接OA，在直角三角形OAC中，OC＝3，OA＝5，则可求出AC，再根据垂径定理即可求出AB．
解：连接OA，如下图所示：
∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距，
∴AC＝ ，
又∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=1．
故选A．
3、C
【分析】根据，利用反比例函数系数的几何意义即可求出值，再根据函数在第一象限可确定的符号.
【详解】解：由轴于点，，得到
又因图象过第一象限, ，解得
故选C
本题考查了反比例函数系数的几何意义.
4、B
【分析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），
∴-=-1，a+b+c=1，
∴b=2a，c=-3a，
∵a＞1，
∴b＞1，c＜1，
∴abc＜1，故①错误，
∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），
可知抛物线与x轴还有另外一个交点（-3，1）
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞1，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（-3，1），
∴9a-3b+c=1，故③正确，
∵点（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
（-1.5，y1）关于对称轴的对称点为（-1.5，y1）
（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，且在对称轴左侧，
-1.5＞-2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜1，故⑤正确，
故选B．
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5、C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键.
6、D
【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】所有正方形都相似，故D符合题意；
故选D．
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7、B
【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】依题意，设金色纸边的宽为，则：
，
整理得出：．
故选：B．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
8、B
【分析】把配成顶点式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：
故选：B
考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9、A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为
经计算只有甲点合适，
故选：A．
本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
10、A
【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
11、B
【解析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是中心对称图形，符合题意，
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：B.
本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12、D
【解析】（x－1）（x＋1）=0，可化为：x－1=0或x＋1=0，解得：x1=1，x1=－1．故选D
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
14、
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：；
故答案为：.
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
15、
【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.
【详解】如图，连接DF、BD，
由图可知，DF＞BD−BF，
当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4、BC=6，
∴BD=，
由折叠性质知AB=BF=4，
∴线段DF长度的最小值为BD−BF=，
故答案为：.
本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解．
17、y＜-1
【分析】根据函数解析式可知当x＞0时，y随x的增大而增大，求出当x=1时对应的y值即可求出y的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数，
-4＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y=-1，
∴当，则y的取值范围是y＜-1，
故答案为：y＜-1．
本题考查了根据反比例函数自变量的取值范围，确定函数值的取值范围，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．
18、4+
【分析】如图所示：设圆O与BC的切点为M，连接OM．由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=3，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣3．设AB=a，BC=a+3，AC=3a，从而可求得∠ACB=20°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+2．求得AB+BC=4+．
【详解】解：解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．
∵BC是圆O的切线，M为切点，
∴OM⊥BC．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性质可知：OG=DG．
∵OG⊥GD，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC．
在△OMG和△GCD中，
，
∴△OMG≌△GCD．
∴OM=GC=3．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-3．
∵AB=CD，
∴BC-AB=3．
设AB=a，则BC=a+3．
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴AC=AB+BC-3r．
∴AC=3a．
∴．
∴∠ACB=20°．
∴，
∴．
故答案为：．
考点：3、三角形的内切圆与内心；3、矩形的性质；2、翻折变换（折叠问题）
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）①点的坐标为，；②，是定值.
【分析】（1）设函数为，把代入即可求解；
（2）①先求出直线AB解析式，求出C’点，得到，再求出，设点，过作轴的平行线交于点，得到，根据三角形面积公式得，解出x即可求解；
②过作轴的垂线，垂足为点，设，表示出，故，根据，得，故，即，得到.再过作的垂线，垂足为点，根据 相似三角形的性质得到，可得的值即为定值.
【详解】（1）解：设，把点代入，
得，解得，
∴该抛物线对应的函数表达式为.
（2）①设直线的函数表达式为，
把，代入，得，解得.
∴直线的函数表达式为.
设直线与轴交于点，则点，∴.
，.
设点，过作轴的平行线交于点，则，
∴，
，，
所以点的坐标为，.
②过作轴的垂线，垂足为点，设，则，，
由，得，，即，故.
过作的垂线，垂足为点，
由，得，，即，故.
所以，是定值.
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质.
20、（1），，；（2）①；②是直角三角形；（3），，，
【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合A，B，C的坐标得出D点坐标；
②利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【详解】解：（1）令，则，
解得：，，
∴，.
令，则，∴；
（2）①过作轴于点，
∵绕点旋转得到，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，.
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵点在第四象限，
∴；
②是直角三角形，
在中，
，
在中
，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）存在
∵，∴，
∵，∴，
作出抛物线的对称轴，
∵M是AB的中点，，，
∴M(,0)，
∴点M在对称轴上.
∵点在对称轴上，
∴设，
当时，
则，∴，
，∴，
∴，.
当时，
则，∴，
，∴，
∴，，
∴，，，.
此题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键．
21、9
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据锐角三角函数求出AD，然后根据三角形的面积公式计算面积即可.
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D
在Rt△ABD中，AB=4, ∠B=60°
∴AD=AB·sin B=
∴S△ABC=BC·AD
=
=9
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.
22、6cm
【详解】解： ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
∵EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
∴AE=CD．
∵ DE=1cm，
∴AD=AE+1．
∵矩形ABCD的周长为2 cm，
∴2（AE+AE+1）=2．
解得， AE=6cm．
23、（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（1）见解析；（3）DE＝1
【解析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；
（1）证△ABC∽△FBO得，结合AB＝1BO即可得；
（3）证ECD∽△EGC得，根据CE＝3，DG＝1.5知，解之可得．
【详解】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（1）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，
∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴，即BO•AB＝BC•BF，
∵AB＝1BO，
∴1OB1＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝1∠F，
又∵∠DCE＝1∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴，
∵CE＝3，DG＝1.5，
∴，
整理，得：DE1+1.5DE﹣9＝0，
解得：DE＝1或DE＝﹣4.5（舍），
故DE＝1．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
24、上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
【分析】由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．
【详解】∵AB＝130，AD＝10，
∴，
∵内外两个矩形相似，
∴，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝1x，
∵矩形作品面积是总面积的，
∴，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（1x﹣10）÷2＝1．
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键．
25、（1）（2）（3）x＜-6或-1.5＜x＜1
【分析】（1）根据点A是OC的中点，可得A（3，2），可得反比例函数解析式为y1=，根据E（，4），F（6，1），运用待定系数法即可得到直线EF的解析式为y=-x+5；
（2）过点E作EG⊥OB于G，根据点E，F都在反比例函数y1=的图象上，可得S△EOG=S△OBF，再根据S△EOF=S梯形EFBG进行计算即可；
（3）根据点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），可得不等式k2x-b-＞1的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜1．
【详解】（1）∵D（1，4），B（6，1），
∴C（6，4），
∵点A是OC的中点，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入反比例函数y1=，可得k1=6，
∴反比例函数解析式为y1=，
把x=6代入y1=，可得y=1，则F（6，1），
把y=4代入y1=，可得x=，则E（，4），
把E（，4），F（6，1）代入y2=k2x+b，可得
，解得，
∴直线EF的解析式为y=-x+5；
（2）如图，过点E作EG⊥OB于G，
∵点E，F都在反比例函数y1=的图象上，
∴S△EOG=S△OBF，
∴S△EOF=S梯形EFBG=（1+4）×=；
（3）由图象可得，点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），
∴由图象可得，不等式k2x-b-＞1的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜1．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及矩形性质的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解题时注意运用数形结合思想得到不等式的解集．
26、（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）任意摸出一球是白球的概率＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，
∴两次摸出都是红球的概率＝＝．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
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