资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
2．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．90
3．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
4．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）
5．在平面直角坐标系中，点，，过第四象限内一动点作轴的垂线，垂足为，且，点、分别在线段和轴上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知（，），下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A． B． C． D．
8．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
13．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是___．
14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．
15．某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．
16．二次函数的顶点坐标___________．
17．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
18．如图的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第一象限内，交轴于点，过点作交的延长线于点．若反比例函数经过点，且，，则值等于__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
22．（8分）如图，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3），将线段BA绕点A沿顺时针旋转90°，设点B旋转后的对应点是点B1，求点B1的坐标．
23．（8分）如图，已知矩形 ABCD．在线段 AD 上作一点 P，使∠DPC ＝∠BPC ．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
24．（8分）已知关于的方程
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是求另一个根及的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.
26．（10分）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长．
【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选B．
本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2、D
【分析】设袋中有黑球x个，根据概率的定义列出方程即可求解.
【详解】设袋中有黑球x个，由题意得：=0.6，解得：x=90，
经检验，x=90是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D．
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解.
3、D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
4、D
【详解】解：由两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．
故选D．
本题考查关于原点对称的点的坐标．
5、B
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据已知条件求出点C的运动轨迹，由一次函数的图像及性质可知：点C的运动轨迹和直线AB平行，过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，然后利用锐角三角函数求MN即可求出CE.
【详解】解：设直线AB的解析式为y=ax＋b（a≠0）
将点，代入解析式，得
解得：
∴直线AB的解析式为
设C点坐标为（x，y）
∴CD=x，OD=-y
∵
∴
整理可得：，即点C的运动轨迹为直线的一部分
由一次函数的性质可知：直线和直线平行，
过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，如图所示
在Rt△AOB中，AB=，sin∠BAO=
在Rt△AMN中，AM=6，sin∠MAN=
∴CE=MN=，即的最小值是.
故选：B.
此题考查的是一次函数的图像及性质、动点问题和解直角三角形，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图像及性质、垂线段最短和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键.
6、B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解.
【详解】解：由，得出，3b=4a,
A.由等式性质可得：3b=4a，正确；
B.由等式性质可得：4a=3b，错误；
C. 由等式性质可得：3b=4a，正确；
D. 由等式性质可得：4a=3b，正确.
故答案为：B.
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
7、B
【解析】y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
y=的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
y=−的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；
故选B.
8、D
【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．
【详解】根据几何体的左视图的定义以及性质得，这个几何体的左视图为
故答案为：D．
本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
9、C
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选C．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC是解此题的关键．
10、A
【解析】根据根的判别式即可求出k的取值范围．
【详解】根据题意有
解得
故选：A．
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、y1＜y1
【分析】由k=-1可知，反比例函数y＝﹣的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则问题可解.
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣1＜0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（1，y1），B（1，y1）在反比例函数y＝﹣的图象上，1＞1，
∴y1＜y1，
故答案为y1＜y1．
本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.
12、1
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算．
【详解】解：如图，
∵直线l∥x轴，
∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=1．
故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
13、m＞1
【解析】试题分析：∵反比例函数的图象关于原点对称，图象一支位于第一象限，
∴图象的另一分支位于第三象限．
∴m﹣1＞0，解得m＞1．
14、1
【解析】首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC的面积＝×4×4＝1，
故答案为1．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
15、元
【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．
【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得
解得
故答案为元．
本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．
16、 (6，3)
【分析】利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式即可得出答案．
【详解】
由此可得，二次函数的顶点式为
则顶点坐标为
故答案为：．
本题考查了顶点式二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解题关键．
17、y＝2（x+3）2+1
【解析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．
故答案为：y＝2（x+3）2+1
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18、6
【分析】可证,得到
因此求得
【详解】解：设,
根据题意,点在第一象限,
又
又
因此
本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的性质.
三、解答题(共66分)
19、（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【详解】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
20、（1）；；（2）或；
【解析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（4，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量x的取值范围．
【详解】（1） 过点，
，
反比例函数的解析式为；
点在 上，
，
，
一次函数过点，
，
解得：．
一次函数解析式为；
（2）由图可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式．
21、（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤1）；（3）满足条件的CN的值为或1．
【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．
（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵AF＝BE＝2，
∴BF＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2．
（2）由题意：＝，
∴＝，
∴y＝x（0≤x≤1）．
（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．
∵△EFB∽△EHC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EH＝6，CH＝1，
当MN∥DF时，＝，
∴＝，
∵y＝x，
解得x＝，
如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，
∴＝ ，
∵y＝x，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的CN的值为或1．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22、B1点的坐标为（7，4）
【分析】如图，作B1C⊥x轴于C，证明△ABO≌△B1AC得到AC=OB=3，B1C=OA=4，然后写出B1点的坐标．
【详解】如图，作B1C⊥x轴于C．
∵A（4，0）、B（0，3），
∵OA＝4，OB＝3，
∵线段BA绕点A沿顺时针旋转90°得A B1，
∴BA＝A B1，且∠BA B1＝90°，
∴∠BAO+∠B1AC＝90°
而∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠B1AC，
∴△ABO≌△B1AC，
∴AC＝OB＝3，B1C＝OA＝4，
∴OC＝OA+AC＝7，
∴B1点的坐标为（7，4）．
本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23、详见解析
【分析】以为圆心，为半径画弧，以为直径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，利用全等三角形和角平分线的判定和性质可得．
【详解】解：如图，即为所作图形：∠DPC ＝∠BPC.
本题是作图—复杂作图，作线段垂直平分线，涉及到角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度中等.
24、①详见解析；②，k=1
【分析】①求出，即可证出结论；
②设另一根为x1，根据根与系数的关系即可求出结论．
【详解】①解：=k2+8＞0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1，由根与系数的关系：
∴，k=1
此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系，掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键．
25、（1）.；（2）的坐标为或.
【解析】分析：（1）根据一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，1），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于1．
详解：（1）一次函数的图象经过点，
，，.
一次函数与反比例函数交于.
，，，.
（2）设，.
当且时，以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
即：且，解得：或（负值已舍），
的坐标为或.
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26、渔船没有进入养殖场的危险.
【解析】试题分析：点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．
试题解析：
过点B作BM⊥AH于M，
∴BM∥AF.
∴∠ABM=∠BAF=30°.
在△BAM中，AM=AB=5，BM=.
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K.
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
设CK=，则BK=
在Rt△ACN中，
∵∠CAN=90°-45°=45°，
∴AN=NC.
∴AM+MN=CK+KN.
又NM=BK，BM=KN.
∴.解得
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.
答：这艘渔船没有进入养殖场危险.
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