资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示的是几个完全相同的小正方体搭建成的几何体的俯视图，其中小正方形内的数字为对应位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图为( )
A． B． C． D．
2．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位后，得抛物线，则的值是（ ）
A．-2 B．2 C．8 D．14
4．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，cosA= ，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．40°
8．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
9．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆点E处，若∠C＝50°，则∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AC＝2，则BC的值为_____．
12．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m．
13．《算学宝鉴》中记载了我国数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何?”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步?如果设矩形田地的长为x步，可列方程为_________．
14．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点，当钟面显示点分时，分针垂直与桌面，点距离桌面的高度为公分，若此钟面显示点分时，点距桌面的高度为公分，如图2，钟面显示点分时，点距桌面的高度_________________.
15．已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．
16．的半径是，弦，点为上的一点（不与点、重合），则的度数为______________.
17．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
20．（6分）某商场将进价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个．
为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯个？
如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为多少？这时应进台灯多个？
21．（6分）表是2019年天气预报显示宿迁市连续5天的天气气温情况．利用方差判断这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大．
12月17日
12月18日
12月19日
12月20日
12月21日
最高气温（℃）
10
6
7
8
9
最低气温（℃）
1
0
﹣1
0
3
22．（8分）某演出队要购买一批演出服，商店给出如下条件：如果一次性购买不超过10件，每件80元；如果一次性购买多于10件，每增加1件，每件服装降低2元，但每件服装不得低于50元，演出队一次性购买这种演出服花费1200元，请问此演出队购买了多少件这种演出服？
23．（8分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．
24．（8分）如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC, E为AD的中点,连接BD,BE，∠ABD=90°
（1）求证：四边形BCDE为菱形.
（2）连接AC,若AC⊥BE, BC=2,求BD的长.
25．（10分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？
26．（10分）在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小；
（Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据题意，左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1．
【详解】因为左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1
故选：A．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，解题关键是根据俯视图确定左视图的列数和各列最高处的正方形个数．
2、C
【分析】根据抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，以及抛物线与坐标轴的交点，结合图象即可作出判断．
【详解】解：由题意得：a＜0，c＞0，=1＞0，
∴b＞0，即abc＜0，选项①错误；
-b=2a，即2a+b=0，选项②正确；
当x=1时，y=a+b+c为最大值，
则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即当m≠1时，a+b＞am2+bm，选项③正确；
由图象知，当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c＜0，选项④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12-ax22+bx1-bx2=0，（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，
∴x1+x2=，所以⑤正确．
所以②③⑤正确，共3项，
故选：C．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3、B
【分析】将改写成顶点式，然后按照题意将进行平移，写出其平移后的解析式，从而求解．
【详解】解：
由题意可知抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位
∴
∴n=2
故选：B
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便．
4、B
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
设OB＝a，则OA＝2a，
则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为．
故选：B．
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
5、A
【解析】试题分析：根据题意得AP=AB，所以PB=AB-AP=AB，所以PB：AB=．故选B．
考点：黄金分割
点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6、B
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【详解】：∵Rt△ABC中，cosA= ，
∴sinA= =，
故选B．
本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．
7、C
【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；
【详解】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，
∴∠B=80°，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=100°，
故选：C．
本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8、D
【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．
【详解】解：由题意b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），
∴A、B关于直线x＝对称，
∴A（+4，n），B（﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，
n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+1+c，
∵b2＝4c，
∴n＝1．
故选：D．
本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.
9、B
【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可；
【详解】解：∵，
∴∠C＝∠AOB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠C＝50°；
故选：B．
本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.
10、C
【分析】首先连接BE，由折叠的性质可得：AB=AE，即可得，然后由圆周角定理得出∠ABE和∠AEB的度数，继而求得∠BAE的度数．
【详解】连接BE，如图所示：
由折叠的性质可得：AB=AE，
∴，
∴∠ABE=∠AEB=∠C=50°，
∴∠BAE=180°﹣50°﹣50°=80°．
故选C．
本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的边角关系求解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BCA＝75°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD
＝30°
在Rt△ACD中，
∵cos∠ACD＝cos30°＝＝，
∴CD＝AC＝,
在Rt△ACD中，
∵sin∠B＝sin45°＝＝
∴CB＝DC＝
故答案为.
本题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系，构造直角三角形是解决本题的关键．
12、12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵
∴
故答案为12
本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.
13、x（x-12）=864
【解析】设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x−12)步．
根据矩形面积=长×宽,得：x(x−12)=864.
故答案为x(x−12)=864.
14、公分
【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AB=10，进而得出A1C=16，求出OA2=OA=6，过A2作A2D⊥OA1从而得出A2D=3即可．
【详解】如图：
可得（公分）
∵AB=10（公分），
∴（公分）
过A2作A2D⊥OA1，
∵
（公分）
∴钟面显示点分时，点距桌面的高度为：（公分）.
故答案为：19公分.
此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A2OA1=30°，进而得出A2D=3，是解决问题的关键．
15、y＝x1+1
【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（1，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax1+c，
把点（1，3）、（1，6）代入得：，解得：a＝1，c＝1，
则此抛物线的表达式是y＝x1+1，故答案为：y＝x1+1．
本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax1+c是解题的关键.
16、或；
【分析】证出△ABO是等边三角形得出∠AOB＝60°． 再分两种情况：点C在优弧上，则∠BCA＝30°；点C在劣弧上，则∠BCA＝（360°−∠AOB）＝150°；即可得出结果．
【详解】如图，连接OA，OB．
∵AO＝BO＝2，AB＝2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
若点C在优弧上，则∠BCA＝30°；
若点C在劣弧上，则∠BCA＝（360°−∠AOB）＝150°；
综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．
故答案为30°或150°．
此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式．熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
17、15π．
【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=×5×2π×3=15π．
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
18、
【解析】首先得出△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】∵AD∥BC∥EF，
∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，
∵EM：BC=2：5，
∴，
设AM=2x，则AC=5x，故MC=3x，
∴，
故答案为：．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）200；（3）150元, 最高利润为5000元,
【分析】（1）总利润=每台的利润销售台数，根据公式即可列出关系式；
（2）将y=4800代入计算即可得到x的值，取x的较大值；
（3）将（1）的函数关系式配方为顶点式，即可得到答案.
【详解】（1）由题意得： ；
（2）将y=4800代入，
∴，
解得x1=100，x2=200，
要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以x=200，
故每台冰箱降价200元
（3），
每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润为5000元
此题考查二次函数的实际应用，熟记销售问题的售价、进价、利润三者之间的关系是解题的关键.
20、（1）这种台灯的售价应定为元或元，这时应进台灯个或个； 商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价定为元，这时应进台灯个．
【分析】（1）设这种台灯的售价应定为x元，根据题意得：利润为（x-30）[600-10（x-40）]=10000；
（2）由（1）得：W=（x-30）[600-10（x-40）]，进而求出最值即可．
【详解】（1）设这种台灯的售价应定为x元，根据题意得：
（x-30）[600-10（x-40）]=10000，
x2-130x+4000=0，
x1=80，x2=50，
则600-10（80-40）=200（个），600-10（50-40）=500（个），
答：这种台灯的售价应定为元或元，这时应进台灯个或个；
根据题意得：设利润为，
则，
则（个），
∴商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价定为元，这时应进台灯个．
21、见解析
【分析】根据题意，先算出各组数据的平均数，再利用方差公式计算求出各组数据的方差比较大小即可．
【详解】∵高＝（℃），
低 ＝（℃），
高＝＝2（℃2）
低＝＝1．84（℃2）
∴高＞低
∴这5天的日最高气温波动大．
本题考查方差的应用，解题的关键是熟练掌握方差公式：S2＝．
22、购买了20件这种服装
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可；
【详解】解：设购买了件这种服装．，
∵∴购买的演出服多于10件
根据题意得出：，
解得：，，
当时，元元，符合题意；
当时，元元，不合题意，舍去；
故答案为：．
答：购买了20件这种服装．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出方程．
23、（1）详见解析；（2）AC=9，CD=.
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC•AE，
∵AB＝6，AE＝4，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴ ．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）连接AC，可证AB=BC，由勾股定理可求出BD=．
【详解】（1）证明：∵∠ABD=90°，E是AD的中点，
∴BE=DE=AE，
∵AD=2BC，
∴BC=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，如图，
∵由（1）得BC=BE，AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵ AC⊥BE，
∴四边形ABCE为菱形，
∴BC=AB=2，AD=2BC=4，
∵∠ABD=90°，
∴BD===.
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法
25、小路的宽应为1．
【解析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：设小路的宽应为x米，
根据题意得：，
解得：，．
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
答：小路的宽应为1米．
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
26、 (1)∠B=40°；(2)AB= 6.
【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;
（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.
【详解】解:(1)如解图①,连接OD,
∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
(2)如解图②,连接OF,OD,
∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.
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