安徽省庐江县联考2024-2025学年九上数学期末调研试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A．x（x+1）=182 B．x（x+1）=182×
C．x（x－1）=182 D．x（x－1）=182×2
2．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于( )

A．60° B．70° C．120° D．140°
3．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A．9 B．12 C．-14 D．10
4．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为(-1，-1)、(2，-1)，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为( )

A．-3 B．-2.5 C．-2 D．-1.5
6．在中，，若已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（　　）米．

A．30 B．30﹣30 C．30 D．30
8．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的内心到三个顶点的距离相等
C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形 D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°
9．如图所示，A，B是函数的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（）

A．S=1 B．S=2 C．1<S<2 D．S>2
10．已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（　　）
A．38° B．62° C．52° D．72°
11．如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3的值为( )

A．35 B．70 C．140 D．290
12．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若，则______.
14．已知点、在二次函数的图像上，则___.（填“”、“”、“”）
15．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．
16．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．

17．已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b =________．
18．已知点在直线上，也在双曲线上，则m2+n2的值为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．

20．（8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
0
3
1
0
…
不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：
（1） 　 ；
（2） ；
（3） ．
21．（8分）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．

22．（10分）如图，某中学九年级“智慧之星”数学社团的成员利用周末开展课外实践活动，他们要测量中心公园内的人工湖中的两个小岛，间的距离.借助人工湖旁的小山，某同学从山顶处测得观看湖中小岛的俯角为，观看湖中小岛的俯角为.已知小山的高为180米，求小岛，间的距离.

23．（10分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都完全相同的4个红球和若干个黄球．
如果从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，那么袋中有黄球多少个？
在的条件下如果从袋中摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，用列表或画树状图的方法求出两次摸出不同颜色球的概率．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，
（1）求证：AE=DE；
（2）若PB=2，求AE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．

25．（12分）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．

（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC＝，求AD的长．
26．某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）当每件衬衫降价多少元时，商场每天获利最大，每天获利最大是多少元？
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，故选C.
考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程
点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键．
2、D
【解析】试题分析：如图，连接OA，则

∵OA=OB=OC，∴∠BAO=∠ABO=32°，∠CAO=∠ACO=38°．
∴∠CAB=∠CAO＋∠BAO=1．
∵∠CAB和∠BOC上同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠CAB=2．故选D．
3、B
【解析】y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y= (x-1)2+2+2= (x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y= (x-1+3)2+4= (x-1+3 )2+4= (x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.
4、D
【分析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】如图，∵与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）
故可补全图像如下，
由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0，
∴，①错误，
②对称轴x=1,故x=-,∴，正确；
③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；
故选D

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.
5、C
【分析】根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（-1，-2）、（1，-2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
∴此时的A点坐标为（1，0），
当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（0，0），
∴此时A点的坐标最小为（-2，0），
∴点A的横坐标的最小值为-2，
故选：C.
本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．
6、B
【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．
【详解】解：在中，，

∵，
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：，
∴.
故选：B.
本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
7、B
【分析】在Rt△BCD中,解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．
【详解】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵tan∠DBC=，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴甲建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD-DF=（30-30）m，
∴乙建筑物的高度为（30-30）m．
故选B．
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
8、C
【分析】分别利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．
【详解】A. 因为只有钝角三角形的外心才在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，该选项错误；
B. 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该选项错误；
C. 若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，该选项正确；
D. 如图，∠C=90，∠BAC+∠ABC
分别是角∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA，
∴∠AOB，该选项错误．

故选：C
本题考查三角形的外接圆和外心及三角形的内切圆与内心，正确把握它们的区别是解题的关键.
9、B
【分析】设点A(m，)，则根据对称的性质和垂直的特点，可以表示出B、C的坐标，根据坐标关系得出BC、AC的长，从而得出△ABC的面积．
【详解】设点A(m，)
∵A、B关于原点对称
∴B(－m，)
∴C(m，)
∴AC=，BC=2m
∴=2
故选：B
本题考查反比例函数和关于原点对称点的求解，解题关键是表示出A、B、C的坐标，从而得出△ABC的面积．
10、C
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可．
【详解】∵sinα=cos38°， 
∴α=90°-38°=52°． 
故选C.
本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
11、D
【分析】由题意得，将所求式子化简后，代入即可得.
【详解】由题意得：，即
又
代入可得：原式
故选：D.
本题考查了长方形的周长和面积公式、多项式的因式分解、以及完全平方公式，熟练掌握相关内容是解题的关键.
12、B
【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：
∵y＝x2，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】利用“设法”表示出，然后代入等式，计算即可．
【详解】设，
则：，
∴，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出是解题的关键．
14、
【分析】把两点的坐标分别代入二次函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可得解.
【详解】时，，
时，，
∵＞0，
∴；
故答案为：．
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，用求差法比较大小是常用的方法.
15、
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．
【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．
故答案为．
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=2．
16、1．
【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为1寸，
故答案为1．

本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
17、-1
【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，
所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－1，
故答案为－1．
18、1
【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=-上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）8；（3）①（），（），（）；②6.
【分析】（1）将点C（0，-3）代入y=（x-1）2+k即可；
（2）易求A（-1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，-4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；
（3）①当0＜m≤1时，h=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-（-4）=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-（-4）=m2-2m+1；
②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，则P（4，5），△BCP的面积=（4+1）×3=6；
【详解】解：（1）因为抛物线与轴交于点，
把代入，得
，
解得，
所以此抛物线的解析式为，
即；
（2）令，得，
解得，
所以，
所以；
解法一：
由（1）知，抛物线顶点坐标为，
由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
最大值为；
解法二
由题意，得，
所以

，
所以当时，有最大值8；
（3）①当时，；
当时，；
当时，；
②当h=9时
若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；
若m2-2m+1=9，则m=4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴△BCP的面积=（4+1）×3=6；
本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
20、（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.
【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3
∴该函数三条不同的性质为：
（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.
21、（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，
∵是的角平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴为“类直角三角形”．

②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在
中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，∴，
∴，
∴，
（2）∵是直径，∴，∵，，∴，
①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，

∵，且，∴，∴，，共线，
∵∴，∴，∴，即
∴．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，

∴，∵，，∴，
∴，即，∴，且中
解得
综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．
本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22、小岛，间的距离为米.
【分析】根据三角函数的定义解直角三角形
【详解】解：在中，由题可知，∴.
在中，由题可知.
∵，
∴.
∴.
答：小岛，间的距离为米.
本题考查了利用三角函数解实际问题，注意三角函数的定义，别混淆
23、（1）袋中有黄球有2个（2）
【解析】设袋中黄球有x个，根据任意摸出一个球是红球的概率为列出关于x的方程，解之可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】设袋中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，
，即袋中有黄球有2个；
列表如下：

红
红
红
红
黄
黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，红
黄，黄
黄，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，红
黄，黄
黄，黄
由表知共有36种等可能结果，其中两次摸出不同颜色球的有16种结果，
所以两次摸出不同颜色球的概率为．
本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24、（1）详见解析；（3）AE=；（3）≤AE＜．
【解析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；
（3）利用勾股定理得出ED3+PD3=EC3+CP3=PE3，求出AE即可；
（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．
【详解】（1）证明：如图1，连接PD．

∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠ADE+∠PDB=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PB．
∴∠PDB=∠B．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE；
（3）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，
∵PB=PD=3，BC=1．
∴PC=3．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED3+PD3=EC3+CP3=PE3．
∴x3+33=（8-x）3+33．
解得x=．
∴AE=；
（3）解：如图3，当P点在B点时，此时点D也在B点，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3+BC3=BE3，
∴（8-x）3+13=x3，
解得：x=，
如图3，当P与C重合时，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3=DC3+DE3，
∴（8-x）3=13+x3，
解得：x=，
∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），
∴线段AE长度的取值范围为：≤AE＜．
本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
25、（1）见解析；（2）AD＝1．
【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据含10°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵∠DAC＝10°，AO=OD
∴∠ADO＝∠DAC＝10°，∠DOC＝60°
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，
∴∠B＝10°，
∴∠DAC＝∠B，
∴DA＝DB，
即△ADB是等腰三角形．
（2）解：连接DC

∵∠DAC＝∠B＝10°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形
∵⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
∴BC＝DC＝OC＝，
∴AD＝．
本题考查切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定，以及勾股定理进行解题．
26、（1）每件应该降价20元；（2）当每件降价15元时，每天获利最大，且获利1250元
【分析】（1）设每件应该降价元，则每件利润为元，此时可售出数量为件，结合盈利1200元进一步列出方程求解即可；
（2）设每件降价元时，每天获利最大，且获利元，然后进一步根据题意得出二者的关系式，最后进一步配方并加以分析求解即可.
【详解】（1）设每件应该降价元，
则：，
整理可得：，
解得：，，
∵要尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，
∴每件应该降价20元，
答：每件应该降价20元；
（2）设每件降价元时，每天获利最大，且获利元，
则：，
配方可得：，
∵，
∴当时，取得最大值，且，
即当每件降价15元时，每天获利最大，且获利1250元，
答：当每件降价15元时，每天获利最大，且获利1250元.
本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.